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Theorem issubmnd 15822
Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubmnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubmnd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
issubmnd.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
issubmnd  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x, H, y    x,  .+ , y    x, S, y    x,  .0. , y

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  H  e.  Mnd )
2 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
3 simpll2 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  S  C_  B )
4 issubmnd.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
5 issubmnd.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5ressbas2 14565 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  H
) )
73, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  S  =  ( Base `  H ) )
82, 7eleqtrd 2533 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  ( Base `  H ) )
9 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
109, 7eleqtrd 2533 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( Base `  H ) )
11 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
1311, 12mndcl 15803 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  H )  /\  y  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
x ( +g  `  H
) y )  e.  ( Base `  H
) )
141, 8, 10, 13syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x ( +g  `  H ) y )  e.  ( Base `  H
) )
15 fvex 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  e.  _V
165, 15eqeltri 2527 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
1716ssex 4581 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
18173ad2ant2 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  S  e.  _V )
19 issubmnd.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
204, 19ressplusg 14616 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
2118, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
2221ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
2322oveqd 6298 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  H
) y ) )
2414, 23, 73eltr4d 2546 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2524ralrimivva 2864 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
26 simpl2 1001 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
2726, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
2821adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
29 ovrspc2v 6303 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3029ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
u  e.  S  /\  v  e.  S )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
31303impb 1193 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S )
32313adant1l 1221 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3326sseld 3488 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
u  e.  S  ->  u  e.  B )
)
3426sseld 3488 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
v  e.  S  -> 
v  e.  B ) )
3526sseld 3488 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
w  e.  S  ->  w  e.  B )
)
3633, 34, 353anim123d 1307 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
3736imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
38 simpl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  G  e.  Mnd )
395, 19mndass 15804 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4038, 39sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4137, 40syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
42 simpl3 1002 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .0.  e.  S )
4326sselda 3489 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  B )
44 issubmnd.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
455, 19, 44mndlid 15815 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  (  .0.  .+  u
)  =  u )
4638, 45sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  B )  ->  (  .0.  .+  u )  =  u )
4743, 46syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (  .0.  .+  u )  =  u )
485, 19, 44mndrid 15816 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  ( u  .+  .0.  )  =  u )
4938, 48sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .+  .0.  )  =  u )
5043, 49syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (
u  .+  .0.  )  =  u )
5127, 28, 32, 41, 42, 47, 50ismndd 15817 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  H  e.  Mnd )
5225, 51impbida 832 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   +g cplusg 14574   0gc0g 14714   Mndcmnd 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795
This theorem is referenced by:  issubm2  15853
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