Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubmnd Structured version   Unicode version

Theorem issubmnd 15822
 Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b
issubmnd.p
issubmnd.z
issubmnd.h s
Assertion
Ref Expression
issubmnd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,   , ,

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 755 . . . . 5
2 simprl 756 . . . . . 6
3 simpll2 1037 . . . . . . 7
4 issubmnd.h . . . . . . . 8 s
5 issubmnd.b . . . . . . . 8
64, 5ressbas2 14565 . . . . . . 7
73, 6syl 16 . . . . . 6
82, 7eleqtrd 2533 . . . . 5
9 simprr 757 . . . . . 6
109, 7eleqtrd 2533 . . . . 5
11 eqid 2443 . . . . . 6
12 eqid 2443 . . . . . 6
1311, 12mndcl 15803 . . . . 5
141, 8, 10, 13syl3anc 1229 . . . 4
15 fvex 5866 . . . . . . . . . 10
165, 15eqeltri 2527 . . . . . . . . 9
1716ssex 4581 . . . . . . . 8
18173ad2ant2 1019 . . . . . . 7
19 issubmnd.p . . . . . . . 8
204, 19ressplusg 14616 . . . . . . 7
2118, 20syl 16 . . . . . 6
2221ad2antrr 725 . . . . 5
2322oveqd 6298 . . . 4
2414, 23, 73eltr4d 2546 . . 3
2524ralrimivva 2864 . 2
26 simpl2 1001 . . . 4
2726, 6syl 16 . . 3
2821adantr 465 . . 3
29 ovrspc2v 6303 . . . . . 6
3029ancoms 453 . . . . 5
31303impb 1193 . . . 4
32313adant1l 1221 . . 3
3326sseld 3488 . . . . . 6
3426sseld 3488 . . . . . 6
3526sseld 3488 . . . . . 6
3633, 34, 353anim123d 1307 . . . . 5
3736imp 429 . . . 4
38 simpl1 1000 . . . . 5
395, 19mndass 15804 . . . . 5
4038, 39sylan 471 . . . 4
4137, 40syldan 470 . . 3
42 simpl3 1002 . . 3
4326sselda 3489 . . . 4
44 issubmnd.z . . . . . 6
455, 19, 44mndlid 15815 . . . . 5
4638, 45sylan 471 . . . 4
4743, 46syldan 470 . . 3
485, 19, 44mndrid 15816 . . . . 5
4938, 48sylan 471 . . . 4
5043, 49syldan 470 . . 3
5127, 28, 32, 41, 42, 47, 50ismndd 15817 . 2
5225, 51impbida 832 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  cvv 3095   wss 3461  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14509   ↾s cress 14510   cplusg 14574  c0g 14714  cmnd 15793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795 This theorem is referenced by:  issubm2  15853
 Copyright terms: Public domain W3C validator