MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubm2 Structured version   Unicode version

Theorem issubm2 15587
Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issubm2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
issubm2.h  |-  H  =  ( Ms  S )
Assertion
Ref Expression
issubm2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd ) ) )

Proof of Theorem issubm2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubm2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 issubm2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
3 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
41, 2, 3issubm 15586 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) ) )
5 issubm2.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Ms  S )
61, 3, 2, 5issubmnd 15560 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
76bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S  <->  H  e.  Mnd ) )
873expb 1189 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S  <->  H  e.  Mnd ) )
98pm5.32da 641 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (
( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd ) ) )
10 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  S )  <->  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  S ) )
11 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd )  <->  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd ) )
129, 10, 113bitr4g 288 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (
( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  S )  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd ) ) )
134, 12bitrd 253 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    C_ wss 3429   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   ↾s cress 14286   +g cplusg 14349   0gc0g 14489   Mndcmnd 15520  SubMndcsubmnd 15574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-submnd 15576
This theorem is referenced by:  submss  15589  submid  15590  subm0cl  15591  submmnd  15593  subsubm  15596  unitsubm  16877  subrgsubm  16993
  Copyright terms: Public domain W3C validator