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Theorem issubm 15850
Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issubm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
issubm.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
issubm  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .+ ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem issubm
Dummy variables  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( Base `  m )  =  ( Base `  M
) )
21pweqd 4021 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ~P ( Base `  m )  =  ~P ( Base `  M
) )
3 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( 0g `  m )  =  ( 0g `  M
) )
43eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( 0g `  m
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  t ) )
5 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  ( +g  `  m )  =  ( +g  `  M
) )
65oveqd 6312 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( +g  `  m
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
76eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
872ralbidv 2911 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
94, 8anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) ) )
102, 9rabeqbidv 3113 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  m
) y )  e.  t ) }  =  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
11 df-submnd 15840 . . . 4  |- SubMnd  =  ( m  e.  Mnd  |->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t ) } )
12 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1312pwex 4636 . . . . 5  |-  ~P ( Base `  M )  e. 
_V
1413rabex 4604 . . . 4  |-  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  e.  _V
1510, 11, 14fvmpt 5957 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  M )  =  {
t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
1615eleq2d 2537 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  S  e.  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) } ) )
17 eleq2 2540 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( 0g `  M
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  S
) )
18 eleq2 2540 . . . . . . 7  |-  ( t  =  S  ->  (
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
1918raleqbi1dv 3071 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2019raleqbi1dv 3071 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2117, 20anbi12d 710 . . . 4  |-  ( t  =  S  ->  (
( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
2221elrab 3266 . . 3  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
23 issubm.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423sseq2i 3534 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
25 issubm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
2625eleq1i 2544 . . . . . 6  |-  (  .0. 
e.  S  <->  ( 0g `  M )  e.  S
)
27 issubm.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2827oveqi 6308 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.+  y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )
2928eleq1i 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
)
30292ralbii 2899 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S )
3126, 30anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
3224, 31anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
33 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( S  C_  B  /\  (  .0. 
e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) ) )
3412elpw2 4617 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
3534anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) ) )
3632, 33, 353bitr4ri 278 . . 3  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )
3722, 36bitri 249 . 2  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
3816, 37syl6bb 261 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   Mndcmnd 15793  SubMndcsubmnd 15838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-submnd 15840
This theorem is referenced by:  issubm2  15851  issubmd  15852  submcl  15856  mhmima  15866  mhmeql  15867  submacs  15868  gsumwspan  15886  frmdsssubm  15901  issubg3  16091  cntzsubm  16245  oppgsubm  16269  lsmsubm  16546  issubrg3  17328  xrge0subm  18329  cnsubmlem  18336  nn0srg  18356  rge0srg  18357  efsubm  22804  iistmd  27709  isdomn3  31093  mon1psubm  31095
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