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Theorem issubm 14703
Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issubm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
issubm.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
issubm  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .+ ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem issubm
Dummy variables  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( Base `  m )  =  ( Base `  M
) )
21pweqd 3764 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ~P ( Base `  m )  =  ~P ( Base `  M
) )
3 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( 0g `  m )  =  ( 0g `  M
) )
43eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( 0g `  m
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  t ) )
5 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  ( +g  `  m )  =  ( +g  `  M
) )
65oveqd 6057 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( +g  `  m
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
76eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
872ralbidv 2708 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
94, 8anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) ) )
102, 9rabeqbidv 2911 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  m
) y )  e.  t ) }  =  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
11 df-submnd 14694 . . . 4  |- SubMnd  =  ( m  e.  Mnd  |->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t ) } )
12 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1312pwex 4342 . . . . 5  |-  ~P ( Base `  M )  e. 
_V
1413rabex 4314 . . . 4  |-  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  e.  _V
1510, 11, 14fvmpt 5765 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  M )  =  {
t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
1615eleq2d 2471 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  S  e.  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) } ) )
17 eleq2 2465 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( 0g `  M
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  S
) )
18 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( t  =  S  ->  (
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
1918raleqbi1dv 2872 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2019raleqbi1dv 2872 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2117, 20anbi12d 692 . . . 4  |-  ( t  =  S  ->  (
( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
2221elrab 3052 . . 3  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
23 issubm.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423sseq2i 3333 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
25 issubm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
2625eleq1i 2467 . . . . . 6  |-  (  .0. 
e.  S  <->  ( 0g `  M )  e.  S
)
27 issubm.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2827oveqi 6053 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.+  y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )
2928eleq1i 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
)
30292ralbii 2692 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S )
3126, 30anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
3224, 31anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
33 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( S  C_  B  /\  (  .0. 
e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) ) )
3412elpw2 4324 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
3534anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) ) )
3632, 33, 353bitr4ri 270 . . 3  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )
3722, 36bitri 241 . 2  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
3816, 37syl6bb 253 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639  SubMndcsubmnd 14692
This theorem is referenced by:  issubm2  14704  submcl  14708  mhmima  14718  mhmeql  14719  submacs  14720  gsumwspan  14746  frmdsssubm  14761  issubg3  14915  cntzsubm  15089  oppgsubm  15113  lsmsubm  15242  issubrg3  15851  xrge0subm  16694  cnsubmlem  16701  iistmd  24253  issubmd  27251  isdomn3  27391  mon1psubm  27393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-submnd 14694
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