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Theorem issubgoi 25513
Description: Properties that determine a subgroup. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgoi.1  |-  G  e. 
GrpOp
issubgoi.2  |-  X  =  ran  G
issubgoi.3  |-  U  =  (GId `  G )
issubgoi.4  |-  N  =  ( inv `  G
)
issubgoi.5  |-  Y  C_  X
issubgoi.6  |-  H  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )
issubgoi.7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x G y )  e.  Y )
issubgoi.8  |-  U  e.  Y
issubgoi.9  |-  ( x  e.  Y  ->  ( N `  x )  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
issubgoi  |-  H  e.  ( SubGrpOp `  G )
Distinct variable groups:    x, H, y    y, N    x, U, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)    N( x)    X( x, y)

Proof of Theorem issubgoi
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubgoi.1 . 2  |-  G  e. 
GrpOp
2 issubgoi.2 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
3 rnexg 6705 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ran  G  e. 
_V )
41, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  G  e.  _V
52, 4eqeltri 2538 . . . 4  |-  X  e. 
_V
6 issubgoi.5 . . . 4  |-  Y  C_  X
75, 6ssexi 4582 . . 3  |-  Y  e. 
_V
82grpofo 25402 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  G :
( X  X.  X
) -onto-> X )
9 fof 5777 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
101, 8, 9mp2b 10 . . . . . . 7  |-  G :
( X  X.  X
) --> X
11 xpss12 5096 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  X  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  X ) )
126, 6, 11mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X
)
13 fssres 5733 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X )
1410, 12, 13mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X
15 issubgoi.6 . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )
1615feq1i 5705 . . . . . 6  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> X  <->  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X )
1714, 16mpbir 209 . . . . 5  |-  H :
( Y  X.  Y
) --> X
18 ffn 5713 . . . . 5  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> X  ->  H  Fn  ( Y  X.  Y ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  H  Fn  ( Y  X.  Y
)
2015oveqi 6283 . . . . . . . 8  |-  ( a H b )  =  ( a ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) b )
21 ovres 6415 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( a ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) b )  =  ( a G b ) )
2220, 21syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( a H b )  =  ( a G b ) )
2322issubgoilem 25512 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x H y )  =  ( x G y ) )
24 issubgoi.7 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x G y )  e.  Y )
2523, 24eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x H y )  e.  Y )
2625rgen2a 2881 . . . 4  |-  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x H y )  e.  Y
27 ffnov 6379 . . . 4  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> Y  <->  ( H  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x H y )  e.  Y ) )
2819, 26, 27mpbir2an 918 . . 3  |-  H :
( Y  X.  Y
) --> Y
2923oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
30293adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
3122issubgoilem 25512 . . . . 5  |-  ( ( ( x H y )  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
3225, 31stoic3 1614 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
3322issubgoilem 25512 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( y H z )  =  ( y G z ) )
3433oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x G ( y H z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
35343adant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x G ( y H z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
3628fovcl 6380 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( y H z )  e.  Y )
3722issubgoilem 25512 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  ( y H z )  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
3836, 37sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y
) )  ->  (
x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
39383impb 1190 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
406sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Y  ->  x  e.  X )
416sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  ->  y  e.  X )
426sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Y  ->  z  e.  X )
432grpoass 25406 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
441, 43mpan 668 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4540, 41, 42, 44syl3an 1268 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4635, 39, 453eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( ( x G y ) G z ) )
4730, 32, 463eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
48 issubgoi.8 . . 3  |-  U  e.  Y
4922issubgoilem 25512 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( U H x )  =  ( U G x ) )
5048, 49mpan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U H x )  =  ( U G x ) )
51 issubgoi.3 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  G )
522, 51grpolid 25422 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
531, 40, 52sylancr 661 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U G x )  =  x )
5450, 53eqtrd 2495 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U H x )  =  x )
55 issubgoi.9 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  ( N `  x )  e.  Y )
5622issubgoilem 25512 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  x
)  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( N `  x ) H x )  =  ( ( N `  x ) G x ) )
5755, 56mpancom 667 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) H x )  =  ( ( N `
 x ) G x ) )
58 issubgoi.4 . . . . . 6  |-  N  =  ( inv `  G
)
592, 51, 58grpolinv 25431 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
) G x )  =  U )
601, 40, 59sylancr 661 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) G x )  =  U )
6157, 60eqtrd 2495 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) H x )  =  U )
627, 28, 47, 48, 54, 55, 61isgrpoi 25401 . 2  |-  H  e. 
GrpOp
63 resss 5285 . . 3  |-  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  G
6415, 63eqsstri 3519 . 2  |-  H  C_  G
65 issubgo 25506 . 2  |-  ( H  e.  ( SubGrpOp `  G
)  <->  ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  H  C_  G )
)
661, 62, 64, 65mpbir3an 1176 1  |-  H  e.  ( SubGrpOp `  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461    X. cxp 4986   ran crn 4989    |` cres 4990    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   GrpOpcgr 25389  GIdcgi 25390   invcgn 25391   SubGrpOpcsubgo 25504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-grpo 25394  df-gid 25395  df-ginv 25396  df-subgo 25505
This theorem is referenced by:  readdsubgo  25556  zaddsubgo  25557  hhssabloi  26379  ghomgrpilem2  29293
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