Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubgoi Structured version   Unicode version

Theorem issubgoi 24988
 Description: Properties that determine a subgroup. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgoi.1
issubgoi.2
issubgoi.3 GId
issubgoi.4
issubgoi.5
issubgoi.6
issubgoi.7
issubgoi.8
issubgoi.9
Assertion
Ref Expression
issubgoi
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem issubgoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubgoi.1 . 2
2 issubgoi.2 . . . . 5
3 rnexg 6713 . . . . . 6
41, 3ax-mp 5 . . . . 5
52, 4eqeltri 2551 . . . 4
6 issubgoi.5 . . . 4
75, 6ssexi 4592 . . 3
82grpofo 24877 . . . . . . . 8
9 fof 5793 . . . . . . . 8
101, 8, 9mp2b 10 . . . . . . 7
11 xpss12 5106 . . . . . . . 8
126, 6, 11mp2an 672 . . . . . . 7
13 fssres 5749 . . . . . . 7
1410, 12, 13mp2an 672 . . . . . 6
15 issubgoi.6 . . . . . . 7
1615feq1i 5721 . . . . . 6
1714, 16mpbir 209 . . . . 5
18 ffn 5729 . . . . 5
1917, 18ax-mp 5 . . . 4
2015oveqi 6295 . . . . . . . 8
21 ovres 6424 . . . . . . . 8
2220, 21syl5eq 2520 . . . . . . 7
2322issubgoilem 24987 . . . . . 6
24 issubgoi.7 . . . . . 6
2523, 24eqeltrd 2555 . . . . 5
2625rgen2a 2891 . . . 4
27 ffnov 6388 . . . 4
2819, 26, 27mpbir2an 918 . . 3
2923oveq1d 6297 . . . . 5
30293adant3 1016 . . . 4
3122issubgoilem 24987 . . . . . 6
3225, 31sylan 471 . . . . 5
33323impa 1191 . . . 4
3422issubgoilem 24987 . . . . . . 7
3534oveq2d 6298 . . . . . 6
36353adant1 1014 . . . . 5
3728fovcl 6389 . . . . . . 7
3822issubgoilem 24987 . . . . . . 7
3937, 38sylan2 474 . . . . . 6
40393impb 1192 . . . . 5
416sseli 3500 . . . . . 6
426sseli 3500 . . . . . 6
436sseli 3500 . . . . . 6
442grpoass 24881 . . . . . . 7
451, 44mpan 670 . . . . . 6
4641, 42, 43, 45syl3an 1270 . . . . 5
4736, 40, 463eqtr4d 2518 . . . 4
4830, 33, 473eqtr4d 2518 . . 3
49 issubgoi.8 . . 3
5022issubgoilem 24987 . . . . 5
5149, 50mpan 670 . . . 4
52 issubgoi.3 . . . . . 6 GId
532, 52grpolid 24897 . . . . 5
541, 41, 53sylancr 663 . . . 4
5551, 54eqtrd 2508 . . 3
56 issubgoi.9 . . 3
5722issubgoilem 24987 . . . . 5
5856, 57mpancom 669 . . . 4
59 issubgoi.4 . . . . . 6
602, 52, 59grpolinv 24906 . . . . 5
611, 41, 60sylancr 663 . . . 4
6258, 61eqtrd 2508 . . 3
637, 28, 48, 49, 55, 56, 62isgrpoi 24876 . 2
64 resss 5295 . . 3
6515, 64eqsstri 3534 . 2
66 issubgo 24981 . 2
671, 63, 65, 66mpbir3an 1178 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cvv 3113   wss 3476   cxp 4997   crn 5000   cres 5001   wfn 5581  wf 5582  wfo 5584  cfv 5586  (class class class)co 6282  cgr 24864  GIdcgi 24865  cgn 24866  csubgo 24979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-subgo 24980 This theorem is referenced by:  readdsubgo  25031  zaddsubgo  25032  hhssabloi  25854  ghomgrpilem2  28501
 Copyright terms: Public domain W3C validator