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Theorem issubg3 16543
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, I    x, S

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21subg0cl 16533 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
32a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
41subm0cl 16307 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
54adantr 463 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S ) )
7 ne0i 3744 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
8 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
97, 82thd 240 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
109adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
11 r19.26 2934 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
1310, 123anbi23d 1304 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
14 anass 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
15 df-3an 976 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
1615anbi1i 693 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( (
( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) )
17 df-3an 976 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 278 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) )
1913, 18syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
20 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
22 issubg3.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invg `  G )
2320, 21, 22issubg2 16540 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
2423adantr 463 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  S  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
25 grpmnd 16386 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2620, 1, 21issubm 16302 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2827anbi1d 703 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
2928adantr 463 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
3130ex 432 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( 0g `  G
)  e.  S  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 352 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   Mndcmnd 16243  SubMndcsubmnd 16289   Grpcgrp 16377   invgcminusg 16378  SubGrpcsubg 16519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-subg 16522
This theorem is referenced by:  subgsubm  16547  subgacs  16560  ghmeql  16613  cntzsubg  16698  oppgsubg  16722  lsmsubg  16998
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