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Theorem issubg3 16009
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, I    x, S

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21subg0cl 15999 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
32a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
41subm0cl 15788 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S ) )
7 ne0i 3786 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
8 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
97, 82thd 240 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
11 r19.26 2984 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
1310, 123anbi23d 1297 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
14 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
15 df-3an 970 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
1615anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( (
( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) )
17 df-3an 970 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 278 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) )
1913, 18syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
20 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
22 issubg3.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invg `  G )
2320, 21, 22issubg2 16006 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  S  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
25 grpmnd 15858 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2620, 1, 21issubm 15783 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2827anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
2928adantr 465 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
3130ex 434 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( 0g `  G
)  e.  S  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 354 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   0gc0g 14686   Mndcmnd 15717   Grpcgrp 15718   invgcminusg 15719  SubMndcsubmnd 15771  SubGrpcsubg 15985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-subg 15988
This theorem is referenced by:  subgsubm  16013  subgacs  16026  ghmeql  16079  cntzsubg  16164  oppgsubg  16188  lsmsubg  16465
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