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Theorem issubg2 16195
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubg2.i  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, I, y    x,  .+ , y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 16181 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
43subgbas 16184 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
53subggrp 16183 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
76grpbn0 16058 . . . . 5  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
94, 8eqnetrd 2736 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
10 issubg2.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1110subgcl 16190 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
12113expa 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
1312ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
14 issubg2.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invg `  G )
1514subginvcl 16189 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
1613, 15jca 532 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
1716ralrimiva 2857 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
182, 9, 173jca 1177 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
19 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr1 1003 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  C_  B
)
213, 1ressbas2 14670 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =  (
Base `  ( Gs  S
) ) )
23 fvex 5866 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  e. 
_V
2422, 23syl6eqel 2539 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  _V )
253, 10ressplusg 14721 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
27 simpr3 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
28 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
2928ralimi 2836 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
3027, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
31 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .+  y )  =  ( u  .+  y ) )
3231eleq1d 2512 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  y )  e.  S
) )
33 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .+  y )  =  ( u  .+  v ) )
3433eleq1d 2512 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  v )  e.  S
) )
3532, 34rspc2v 3205 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( u  .+  v
)  e.  S ) )
3630, 35syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S ) )
37363impib 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3820sseld 3488 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  B ) )
3920sseld 3488 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( v  e.  S  ->  v  e.  B ) )
4020sseld 3488 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  B ) )
4138, 39, 403anim123d 1307 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
) )
4241imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
431, 10grpass 16043 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4443adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4542, 44syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
46 simpr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
47 n0 3780 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  S )
4846, 47sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  E. u  u  e.  S )
4920sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  B )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
511, 10, 50, 14grplinv 16075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( I `  u )  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
5251adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
5349, 52syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
5554ralimi 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)
5627, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )
57 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  (
I `  x )  =  ( I `  u ) )
5857eleq1d 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( I `  x
)  e.  S  <->  ( I `  u )  e.  S
) )
5958rspccva 3195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( I `  u
)  e.  S )
6056, 59sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( I `  u )  e.  S
)
61 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  S )
6230adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
63 ovrspc2v 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I `  u )  e.  S  /\  u  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl21anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6553, 64eqeltrrd 2532 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
6648, 65exlimddv 1713 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
671, 10, 50grplid 16059 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
6867adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
6949, 68syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
7022, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53isgrpd 16054 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
711issubg 16180 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
7219, 20, 70, 71syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7372ex 434 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) ) )
7418, 73impbid2 204 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   ↾s cress 14615   +g cplusg 14679   0gc0g 14819   Grpcgrp 16032   invgcminusg 16033  SubGrpcsubg 16174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-subg 16177
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  16196  issubg3  16198  issubg4  16199  grpissubg  16200  subgint  16204  0subg  16205  cycsubgcl  16206  nmzsubg  16221  ghmrn  16259  ghmpreima  16267  gastacl  16326  torsubg  16839  oddvdssubg  16840  subrgugrp  17427  cntzsubr  17440  lsssubg  17582  lidlsubg  17841  mplsubglem  18072  mplsubglemOLD  18074  mplind  18146  cnsubglem  18446  cnmsubglem  18459  cpmatsubgpmat  19199
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