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Theorem issubg2 15695
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubg2.i  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, I, y    x,  .+ , y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 15681 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
43subgbas 15684 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
53subggrp 15683 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
6 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
76grpbn0 15566 . . . . 5  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
94, 8eqnetrd 2625 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
10 issubg2.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1110subgcl 15690 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
12113expa 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
1312ralrimiva 2798 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
14 issubg2.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invg `  G )
1514subginvcl 15689 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
1613, 15jca 532 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
1716ralrimiva 2798 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
182, 9, 173jca 1168 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
19 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  C_  B
)
213, 1ressbas2 14228 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =  (
Base `  ( Gs  S
) ) )
23 fvex 5700 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  e. 
_V
2422, 23syl6eqel 2530 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  _V )
253, 10ressplusg 14279 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
27 simpr3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
28 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
2928ralimi 2790 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
3027, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
31 oveq1 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .+  y )  =  ( u  .+  y ) )
3231eleq1d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  y )  e.  S
) )
33 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .+  y )  =  ( u  .+  v ) )
3433eleq1d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  v )  e.  S
) )
3532, 34rspc2v 3078 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( u  .+  v
)  e.  S ) )
3630, 35syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S ) )
37363impib 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3820sseld 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  B ) )
3920sseld 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( v  e.  S  ->  v  e.  B ) )
4020sseld 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  B ) )
4138, 39, 403anim123d 1296 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
) )
4241imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
431, 10grpass 15551 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4443adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4542, 44syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
46 simpr2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
47 n0 3645 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  S )
4846, 47sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  E. u  u  e.  S )
4920sselda 3355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  B )
50 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
511, 10, 50, 14grplinv 15583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( I `  u )  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
5251adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
5349, 52syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
5554ralimi 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)
5627, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )
57 fveq2 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  (
I `  x )  =  ( I `  u ) )
5857eleq1d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( I `  x
)  e.  S  <->  ( I `  u )  e.  S
) )
5958rspccva 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( I `  u
)  e.  S )
6056, 59sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( I `  u )  e.  S
)
61 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  S )
6230adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
63 proplem2 14626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I `  u )  e.  S  /\  u  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl21anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6553, 64eqeltrrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
6648, 65exlimddv 1692 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
671, 10, 50grplid 15567 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
6867adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
6949, 68syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
7022, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53isgrpd 15562 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
711issubg 15680 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
7219, 20, 70, 71syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7372ex 434 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) ) )
7418, 73impbid2 204 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   ↾s cress 14174   +g cplusg 14237   0gc0g 14377   Grpcgrp 15409   invgcminusg 15410  SubGrpcsubg 15674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-subg 15677
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  15696  issubg3  15698  issubg4  15699  grpissubg  15700  subgint  15704  0subg  15705  cycsubgcl  15706  nmzsubg  15721  ghmrn  15759  ghmpreima  15767  gastacl  15826  torsubg  16335  oddvdssubg  16336  subrgugrp  16883  cntzsubr  16896  lsssubg  17037  lidlsubg  17296  mplsubglem  17509  mplsubglemOLD  17511  mplind  17583  cnsubglem  17861  cnmsubglem  17874
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