Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubdrg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem issubdrg 18111
 Description: Characterize the subfields of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubdrg.s s
issubdrg.z
issubdrg.i
Assertion
Ref Expression
issubdrg SubRing
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem issubdrg
StepHypRef Expression
1 simpllr 777 . . . . . 6 SubRing SubRing
2 issubdrg.s . . . . . . 7 s
32subrgring 18089 . . . . . 6 SubRing
41, 3syl 17 . . . . 5 SubRing
5 simpr 468 . . . . . . . . 9 SubRing
6 eldifsn 4088 . . . . . . . . 9
75, 6sylib 201 . . . . . . . 8 SubRing
87simpld 466 . . . . . . 7 SubRing
92subrgbas 18095 . . . . . . . 8 SubRing
101, 9syl 17 . . . . . . 7 SubRing
118, 10eleqtrd 2551 . . . . . 6 SubRing
127simprd 470 . . . . . . 7 SubRing
13 issubdrg.z . . . . . . . . 9
142, 13subrg0 18093 . . . . . . . 8 SubRing
151, 14syl 17 . . . . . . 7 SubRing
1612, 15neeqtrd 2712 . . . . . 6 SubRing
17 eqid 2471 . . . . . . . 8
18 eqid 2471 . . . . . . . 8 Unit Unit
19 eqid 2471 . . . . . . . 8
2017, 18, 19drngunit 18058 . . . . . . 7 Unit
2120ad2antlr 741 . . . . . 6 SubRing Unit
2211, 16, 21mpbir2and 936 . . . . 5 SubRing Unit
23 eqid 2471 . . . . . 6
2418, 23, 17ringinvcl 17982 . . . . 5 Unit
254, 22, 24syl2anc 673 . . . 4 SubRing
26 issubdrg.i . . . . . 6
272, 26, 18, 23subrginv 18102 . . . . 5 SubRing Unit
281, 22, 27syl2anc 673 . . . 4 SubRing
2925, 28, 103eltr4d 2564 . . 3 SubRing
3029ralrimiva 2809 . 2 SubRing
313ad2antlr 741 . . 3 SubRing
32 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
332, 32, 18subrguss 18101 . . . . . . . . 9 SubRing Unit Unit
3433ad2antlr 741 . . . . . . . 8 SubRing Unit Unit
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
3635, 32, 13isdrng 18057 . . . . . . . . . 10 Unit
3736simprbi 471 . . . . . . . . 9 Unit
3837ad2antrr 740 . . . . . . . 8 SubRing Unit
3934, 38sseqtrd 3454 . . . . . . 7 SubRing Unit
4017, 18unitss 17966 . . . . . . . 8 Unit
419ad2antlr 741 . . . . . . . 8 SubRing
4240, 41syl5sseqr 3467 . . . . . . 7 SubRing Unit
4339, 42ssind 3647 . . . . . 6 SubRing Unit
4435subrgss 18087 . . . . . . . 8 SubRing
4544ad2antlr 741 . . . . . . 7 SubRing
46 difin2 3696 . . . . . . 7
4745, 46syl 17 . . . . . 6 SubRing
4843, 47sseqtr4d 3455 . . . . 5 SubRing Unit
4944ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12 SubRing
50 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14 SubRing
5150, 6sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13 SubRing
5251simpld 466 . . . . . . . . . . . 12 SubRing
5349, 52sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11 SubRing
5451simprd 470 . . . . . . . . . . 11 SubRing
5535, 32, 13drngunit 18058 . . . . . . . . . . . 12 Unit
5655ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 SubRing Unit
5753, 54, 56mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10 SubRing Unit
58 simprr 774 . . . . . . . . . 10 SubRing
592, 32, 18, 26subrgunit 18104 . . . . . . . . . . 11 SubRing Unit Unit
6059ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10 SubRing Unit Unit
6157, 52, 58, 60mpbir3and 1213 . . . . . . . . 9 SubRing Unit
6261expr 626 . . . . . . . 8 SubRing Unit
6362ralimdva 2805 . . . . . . 7 SubRing Unit
6463imp 436 . . . . . 6 SubRing Unit
65 dfss3 3408 . . . . . 6 Unit Unit
6664, 65sylibr 217 . . . . 5 SubRing Unit
6748, 66eqssd 3435 . . . 4 SubRing Unit
6814ad2antlr 741 . . . . . 6 SubRing
6968sneqd 3971 . . . . 5 SubRing
7041, 69difeq12d 3541 . . . 4 SubRing
7167, 70eqtrd 2505 . . 3 SubRing Unit
7217, 18, 19isdrng 18057 . . 3 Unit
7331, 71, 72sylanbrc 677 . 2 SubRing
7430, 73impbida 850 1 SubRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  csn 3959  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   ↾s cress 15200  c0g 15416  crg 17858  Unitcui 17945  cinvr 17977  cdr 18053  SubRingcsubrg 18082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-subrg 18084 This theorem is referenced by:  cnsubdrglem  19096  issdrg2  36135
 Copyright terms: Public domain W3C validator