Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc3 Structured version   Unicode version

Theorem issubc3 15747
 Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 16588, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h f
issubc3.i
issubc3.1 cat
issubc3.c
issubc3.a
Assertion
Ref Expression
issubc3 Subcat cat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4 Subcat Subcat
2 issubc3.h . . . 4 f
31, 2subcssc 15738 . . 3 Subcat cat
41adantr 467 . . . . 5 Subcat Subcat
5 issubc3.a . . . . . 6
65ad2antrr 731 . . . . 5 Subcat
7 simpr 463 . . . . 5 Subcat
8 issubc3.i . . . . 5
94, 6, 7, 8subcidcl 15742 . . . 4 Subcat
109ralrimiva 2840 . . 3 Subcat
11 issubc3.1 . . . 4 cat
1211, 1subccat 15746 . . 3 Subcat
133, 10, 123jca 1186 . 2 Subcat cat
14 simpr1 1012 . . 3 cat cat
15 simpr2 1013 . . . 4 cat
16 eqid 2423 . . . . . . . . . 10
17 eqid 2423 . . . . . . . . . 10
18 eqid 2423 . . . . . . . . . 10 comp comp
19 simplrr 770 . . . . . . . . . 10 cat
20 simprl1 1051 . . . . . . . . . . 11 cat
21 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13
2322ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12 cat
245ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12 cat
252, 21homffn 15591 . . . . . . . . . . . . . 14
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 cat
27 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . 13 cat cat
2824, 26, 27ssc1 15719 . . . . . . . . . . . 12 cat
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 15727 . . . . . . . . . . 11 cat
3020, 29eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10 cat
31 simprl2 1052 . . . . . . . . . . 11 cat
3231, 29eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10 cat
33 simprl3 1053 . . . . . . . . . . 11 cat
3433, 29eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10 cat
35 simprrl 773 . . . . . . . . . . 11 cat
3611, 21, 23, 24, 28reschom 15728 . . . . . . . . . . . 12 cat
3736oveqd 6320 . . . . . . . . . . 11 cat
3835, 37eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10 cat
39 simprrr 774 . . . . . . . . . . 11 cat
4036oveqd 6320 . . . . . . . . . . 11 cat
4139, 40eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10 cat
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 15584 . . . . . . . . 9 cat comp
43 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12 comp comp
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 15730 . . . . . . . . . . 11 cat comp comp
4544oveqd 6320 . . . . . . . . . 10 cat comp comp
4645oveqd 6320 . . . . . . . . 9 cat comp comp
4736oveqd 6320 . . . . . . . . 9 cat
4842, 46, 473eltr4d 2526 . . . . . . . 8 cat comp
4948anassrs 653 . . . . . . 7 cat comp
5049ralrimivva 2847 . . . . . 6 cat comp
5150ralrimivvva 2848 . . . . 5 cat comp
52513adantr2 1166 . . . 4 cat comp
53 r19.26 2956 . . . 4 comp comp
5415, 52, 53sylanbrc 669 . . 3 cat comp
5522adantr 467 . . . 4 cat
565adantr 467 . . . 4 cat
572, 8, 43, 55, 56issubc2 15734 . . 3 cat Subcat cat comp
5814, 54, 57mpbir2and 931 . 2 cat Subcat
5913, 58impbida 841 1 Subcat cat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 983   wceq 1438   wcel 1869  wral 2776  cop 4003   class class class wbr 4421   cxp 4849   wfn 5594  cfv 5599  (class class class)co 6303  cbs 15114   chom 15194  compcco 15195  ccat 15563  ccid 15564   f chomf 15565   cat cssc 15705   cat cresc 15706  Subcatcsubc 15707 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-hom 15207  df-cco 15208  df-cat 15567  df-cid 15568  df-homf 15569  df-ssc 15708  df-resc 15709  df-subc 15710 This theorem is referenced by:  subsubc  15751
 Copyright terms: Public domain W3C validator