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Theorem issubc3 15747
Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 16588, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
issubc3.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
issubc3.1  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
issubc3.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
issubc3.a  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
Assertion
Ref Expression
issubc3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, J    x, S
Allowed substitution hint:    .1. ( x)

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C ) )
2 issubc3.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
31, 2subcssc 15738 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  C_cat  H )
41adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5 issubc3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
65ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
7 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
8 issubc3.i . . . . 5  |-  .1.  =  ( Id `  C )
94, 6, 7, 8subcidcl 15742 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
109ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
11 issubc3.1 . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
1211, 1subccat 15746 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  D  e.  Cat )
133, 10, 123jca 1186 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e. 
Cat ) )
14 simpr1 1012 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  C_cat  H )
15 simpr2 1013 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
16 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
17 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
18 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
19 simplrr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  D  e.  Cat )
20 simprl1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  S )
21 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2322ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
245ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
252, 21homffn 15591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
27 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  C_cat  H )
2824, 26, 27ssc1 15719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  C
) )
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 15727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  =  ( Base `  D
) )
3020, 29eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  D
) )
31 simprl2 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  S )
3231, 29eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
33 simprl3 1053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  S )
3433, 29eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  D
) )
35 simprrl 773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x J y ) )
3611, 21, 23, 24, 28reschom 15728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  =  ( Hom  `  D
) )
3736oveqd 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) )
3835, 37eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
39 simprrr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y J z ) )
4036oveqd 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
y J z )  =  ( y ( Hom  `  D )
z ) )
4139, 40eleqtrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 15584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  D
) z ) )
43 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 15730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (comp `  C )  =  (comp `  D ) )
4544oveqd 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  C )
z )  =  (
<. x ,  y >.
(comp `  D )
z ) )
4645oveqd 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f ) )
4736oveqd 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J z )  =  ( x ( Hom  `  D )
z ) )
4842, 46, 473eltr4d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
4948anassrs 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
5049ralrimivva 2847 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
5150ralrimivvva 2848 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
52513adantr2 1166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
53 r19.26 2956 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  (
(  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )  <->  ( A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5415, 52, 53sylanbrc 669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5522adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  C  e.  Cat )
565adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
572, 8, 43, 55, 56issubc2 15734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  ( J  e.  (Subcat `  C
)  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
5814, 54, 57mpbir2and 931 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5913, 58impbida 841 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   <.cop 4003   class class class wbr 4421    X. cxp 4849    Fn wfn 5594   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Basecbs 15114   Hom chom 15194  compcco 15195   Catccat 15563   Idccid 15564   Hom f chomf 15565    C_cat cssc 15705    |`cat cresc 15706  Subcatcsubc 15707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-hom 15207  df-cco 15208  df-cat 15567  df-cid 15568  df-homf 15569  df-ssc 15708  df-resc 15709  df-subc 15710
This theorem is referenced by:  subsubc  15751
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