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Theorem issubc3 15092
Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 15853, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
issubc3.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
issubc3.1  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
issubc3.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
issubc3.a  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
Assertion
Ref Expression
issubc3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, J    x, S
Allowed substitution hint:    .1. ( x)

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C ) )
2 issubc3.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
31, 2subcssc 15083 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  C_cat  H )
41adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5 issubc3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
65ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
8 issubc3.i . . . . 5  |-  .1.  =  ( Id `  C )
94, 6, 7, 8subcidcl 15087 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
109ralrimiva 2857 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
11 issubc3.1 . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
1211, 1subccat 15091 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  D  e.  Cat )
133, 10, 123jca 1177 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e. 
Cat ) )
14 simpr1 1003 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  C_cat  H )
15 simpr2 1004 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
18 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
19 simplrr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  D  e.  Cat )
20 simprl1 1042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  S )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
252, 21homffn 14965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
27 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  C_cat  H )
2824, 26, 27ssc1 15067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  C
) )
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 15075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  =  ( Base `  D
) )
3020, 29eleqtrd 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  D
) )
31 simprl2 1043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  S )
3231, 29eleqtrd 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
33 simprl3 1044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  S )
3433, 29eleqtrd 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  D
) )
35 simprrl 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x J y ) )
3611, 21, 23, 24, 28reschom 15076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  =  ( Hom  `  D
) )
3736oveqd 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) )
3835, 37eleqtrd 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
39 simprrr 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y J z ) )
4036oveqd 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
y J z )  =  ( y ( Hom  `  D )
z ) )
4139, 40eleqtrd 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 14959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  D
) z ) )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 15078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (comp `  C )  =  (comp `  D ) )
4544oveqd 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  C )
z )  =  (
<. x ,  y >.
(comp `  D )
z ) )
4645oveqd 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f ) )
4736oveqd 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J z )  =  ( x ( Hom  `  D )
z ) )
4842, 46, 473eltr4d 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
4948anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
5049ralrimivva 2864 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
5150ralrimivvva 2865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
52513adantr2 1157 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
53 r19.26 2970 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  (
(  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )  <->  ( A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5415, 52, 53sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5522adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  C  e.  Cat )
565adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
572, 8, 43, 55, 56issubc2 15082 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  ( J  e.  (Subcat `  C
)  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
5814, 54, 57mpbir2and 922 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5913, 58impbida 832 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   <.cop 4020   class class class wbr 4437    X. cxp 4987    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   Hom chom 14585  compcco 14586   Catccat 14938   Idccid 14939   Hom f chomf 14940    C_cat cssc 15053    |`cat cresc 15054  Subcatcsubc 15055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-hom 14598  df-cco 14599  df-cat 14942  df-cid 14943  df-homf 14944  df-ssc 15056  df-resc 15057  df-subc 15058
This theorem is referenced by:  subsubc  15096
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