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Theorem issubc3 15067
Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 15784, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
issubc3.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
issubc3.1  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
issubc3.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
issubc3.a  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
Assertion
Ref Expression
issubc3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, J    x, S
Allowed substitution hint:    .1. ( x)

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C ) )
2 issubc3.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
31, 2subcssc 15058 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  C_cat  H )
41adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5 issubc3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
65ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
8 issubc3.i . . . . 5  |-  .1.  =  ( Id `  C )
94, 6, 7, 8subcidcl 15062 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
109ralrimiva 2873 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
11 issubc3.1 . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
1211, 1subccat 15066 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  D  e.  Cat )
133, 10, 123jca 1171 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e. 
Cat ) )
14 simpr1 997 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  C_cat  H )
15 simpr2 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
16 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
17 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
18 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
19 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  D  e.  Cat )
20 simprl1 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  S )
21 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
252, 21homffn 14940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
27 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  C_cat  H )
2824, 26, 27ssc1 15042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  C
) )
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 15050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  =  ( Base `  D
) )
3020, 29eleqtrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  D
) )
31 simprl2 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  S )
3231, 29eleqtrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
33 simprl3 1038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  S )
3433, 29eleqtrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  D
) )
35 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x J y ) )
3611, 21, 23, 24, 28reschom 15051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  =  ( Hom  `  D
) )
3736oveqd 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) )
3835, 37eleqtrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
39 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y J z ) )
4036oveqd 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
y J z )  =  ( y ( Hom  `  D )
z ) )
4139, 40eleqtrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 14931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  D
) z ) )
43 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 15053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (comp `  C )  =  (comp `  D ) )
4544oveqd 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  C )
z )  =  (
<. x ,  y >.
(comp `  D )
z ) )
4645oveqd 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f ) )
4736oveqd 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J z )  =  ( x ( Hom  `  D )
z ) )
4842, 46, 473eltr4d 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
4948anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
5049ralrimivva 2880 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
5150ralrimivvva 2881 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
52513adantr2 1151 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
53 r19.26 2984 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  (
(  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )  <->  ( A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5415, 52, 53sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5522adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  C  e.  Cat )
565adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
572, 8, 43, 55, 56issubc2 15057 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  ( J  e.  (Subcat `  C
)  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
5814, 54, 57mpbir2and 915 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5913, 58impbida 829 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   <.cop 4028   class class class wbr 4442    X. cxp 4992    Fn wfn 5576   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   Hom chom 14557  compcco 14558   Catccat 14910   Idccid 14911   Hom f chomf 14912    C_cat cssc 15028    |`cat cresc 15029  Subcatcsubc 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-hom 14570  df-cco 14571  df-cat 14914  df-cid 14915  df-homf 14916  df-ssc 15031  df-resc 15032  df-subc 15033
This theorem is referenced by:  subsubc  15071
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