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Theorem issubc3 15337
Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 16178, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
issubc3.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
issubc3.1  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
issubc3.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
issubc3.a  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
Assertion
Ref Expression
issubc3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, J    x, S
Allowed substitution hint:    .1. ( x)

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C ) )
2 issubc3.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
31, 2subcssc 15328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  J  C_cat  H )
41adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5 issubc3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
65ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
7 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
8 issubc3.i . . . . 5  |-  .1.  =  ( Id `  C )
94, 6, 7, 8subcidcl 15332 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  (Subcat `  C )
)  /\  x  e.  S )  ->  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
109ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
11 issubc3.1 . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
1211, 1subccat 15336 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  D  e.  Cat )
133, 10, 123jca 1174 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  (Subcat `  C ) )  ->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e. 
Cat ) )
14 simpr1 1000 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  C_cat  H )
15 simpr2 1001 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) )
16 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
17 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
18 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
19 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  D  e.  Cat )
20 simprl1 1039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  S )
21 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
245ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
252, 21homffn 15181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  H  Fn  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
27 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  C_cat  H )
2824, 26, 27ssc1 15309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  C
) )
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 15317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  S  =  ( Base `  D
) )
3020, 29eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  D
) )
31 simprl2 1040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  S )
3231, 29eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
33 simprl3 1041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  S )
3433, 29eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  D
) )
35 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x J y ) )
3611, 21, 23, 24, 28reschom 15318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  J  =  ( Hom  `  D
) )
3736oveqd 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J y )  =  ( x ( Hom  `  D )
y ) )
3835, 37eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) )
39 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y J z ) )
4036oveqd 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
y J z )  =  ( y ( Hom  `  D )
z ) )
4139, 40eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  D ) z ) )
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 15174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  D
) z ) )
43 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 15320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (comp `  C )  =  (comp `  D ) )
4544oveqd 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  C )
z )  =  (
<. x ,  y >.
(comp `  D )
z ) )
4645oveqd 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f ) )
4736oveqd 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
x J z )  =  ( x ( Hom  `  D )
z ) )
4842, 46, 473eltr4d 2557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
4948anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( x J y )  /\  g  e.  ( y J z ) ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )
5049ralrimivva 2875 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e. 
Cat ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
5150ralrimivvva 2876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
52513adantr2 1154 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) )
53 r19.26 2981 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  (
(  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x J z ) )  <->  ( A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5415, 52, 53sylanbrc 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5522adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  C  e.  Cat )
565adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  Fn  ( S  X.  S
) )
572, 8, 43, 55, 56issubc2 15324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  ( J  e.  (Subcat `  C
)  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
5814, 54, 57mpbir2and 920 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) )  ->  J  e.  (Subcat `  C )
)
5913, 58impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  D  e.  Cat ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   <.cop 4022   class class class wbr 4439    X. cxp 4986    Fn wfn 5565   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   Hom chom 14795  compcco 14796   Catccat 15153   Idccid 15154   Hom f chomf 15155    C_cat cssc 15295    |`cat cresc 15296  Subcatcsubc 15297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-hom 14808  df-cco 14809  df-cat 15157  df-cid 15158  df-homf 15159  df-ssc 15298  df-resc 15299  df-subc 15300
This theorem is referenced by:  subsubc  15341
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