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Theorem issubc 14753
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
issubc.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
issubc.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
issubc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
issubc.s  |-  ( ph  ->  S  =  dom  dom  J )
Assertion
Ref Expression
issubc  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, z, C    f, J, g, x, y, z    S, f, g, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, f, g)    .x. ( x, y, z, f, g)    .1. ( x, y, z, f, g)    H( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem issubc
Dummy variables  c 
j  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubc.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2 issubc.s . 2  |-  ( ph  ->  S  =  dom  dom  J )
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  C  e.  Cat )
4 sscpwex 14733 . . . . . . . 8  |-  { j  |  j  C_cat  ( Hom f  `  c ) }  e.  _V
5 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  ->  j  C_cat  ( Hom f  `  c ) )
65ss2abi 3429 . . . . . . . 8  |-  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  C_  { j  |  j  C_cat  ( Hom f  `  c
) }
74, 6ssexi 4442 . . . . . . 7  |-  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V
87csbex 4430 . . . . . 6  |-  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  [_ C  / 
c ]_ { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )
10 df-subc 14730 . . . . . 6  |- Subcat  =  ( c  e.  Cat  |->  { j  |  ( j 
C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
1110fvmpts 5781 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )  ->  (Subcat `  C )  =  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
123, 9, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  (Subcat `  C
)  =  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
1312eleq2d 2510 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  J  e.  [_ C  / 
c ]_ { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
14 sbcel2 3688 . . . 4  |-  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  J  e.  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  J  e.  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
16 elex 2986 . . . . . 6  |-  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  ->  J  e.  _V )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  ->  J  e.  _V ) )
18 sscrel 14731 . . . . . . . 8  |-  Rel  C_cat
1918brrelexi 4884 . . . . . . 7  |-  ( J 
C_cat  H  ->  J  e.  _V )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )  ->  J  e.  _V )
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  (
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) )  ->  J  e.  _V )
)
22 df-sbc 3192 . . . . . . 7  |-  ( [. J  /  j ]. (
j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
23 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  J  e.  _V )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  j  =  J )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  c  =  C )
2625fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( Hom f  `  c )  =  ( Hom f  `  C ) )
27 issubc.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
2826, 27syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( Hom f  `  c )  =  H )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( Hom f  `  c
)  =  H )
3024, 29breq12d 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  <->  J  C_cat  H ) )
31 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
3231dmex 6516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  j  e.  _V
3332dmex 6516 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  dom  j  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  e.  _V )
3524dmeqd 5047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  j  =  dom  J )
3635dmeqd 5047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  =  dom  dom  J )
37 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  S  =  dom  dom  J )
3836, 37eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  =  S )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
40 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  c  =  C )
4140fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( Id `  c )  =  ( Id `  C
) )
42 issubc.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .1.  =  ( Id `  C )
4341, 42syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( Id `  c )  =  .1.  )
4443fveq1d 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( Id `  c
) `  x )  =  (  .1.  `  x
) )
45 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  j  =  J )
4645oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j x )  =  ( x J x ) )
4744, 46eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( ( Id `  c ) `  x
)  e.  ( x j x )  <->  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) ) )
4845oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j y )  =  ( x J y ) )
4945oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
y j z )  =  ( y J z ) )
5040fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (comp `  c )  =  (comp `  C ) )
51 issubc.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  (comp `  C )
5250, 51syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (comp `  c )  =  .x.  )
5352oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  c )
z )  =  (
<. x ,  y >.  .x.  z ) )
5453oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  c ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) )
5545oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j z )  =  ( x J z ) )
5654, 55eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5749, 56raleqbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. g  e.  (
y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5848, 57raleqbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5939, 58raleqbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. z  e.  s  A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6039, 59raleqbidv 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6147, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6239, 61raleqbidv 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6334, 38, 62sbcied2 3229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6430, 63anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( (
j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6564adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  J  e.  _V )  /\  j  =  J )  ->  (
( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6623, 65sbcied 3228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  ( [. J  /  j ]. (
j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6722, 66syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  ( J  e. 
{ j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6867ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) ) )
6917, 21, 68pm5.21ndd 354 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
703, 69sbcied 3228 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  ( Hom f  `  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
7113, 15, 703bitr2d 281 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
721, 2, 71syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   _Vcvv 2977   [.wsbc 3191   [_csb 3293   <.cop 3888   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096  compcco 14255   Catccat 14607   Idccid 14608   Hom f chomf 14609    C_cat cssc 14725  Subcatcsubc 14727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-ssc 14728  df-subc 14730
This theorem is referenced by:  issubc2  14754  subcssc  14755
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