Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa2 Structured version   Unicode version

Theorem issubassa2 18312
 Description: A subring of a unital algebra is a subspace and thus a subalgebra iff it contains all scalar multiples of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa2.a algSc
issubassa2.l
Assertion
Ref Expression
issubassa2 AssAlg SubRing

Proof of Theorem issubassa2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubassa2.a . . . . 5 algSc
2 eqid 2402 . . . . 5
3 eqid 2402 . . . . 5
41, 2, 3rnascl 18310 . . . 4 AssAlg
54ad2antrr 724 . . 3 AssAlg SubRing
6 issubassa2.l . . . 4
7 assalmod 18286 . . . . 5 AssAlg
87ad2antrr 724 . . . 4 AssAlg SubRing
9 simpr 459 . . . 4 AssAlg SubRing
102subrg1cl 17755 . . . . 5 SubRing
1110ad2antlr 725 . . . 4 AssAlg SubRing
126, 3, 8, 9, 11lspsnel5a 17960 . . 3 AssAlg SubRing
135, 12eqsstrd 3475 . 2 AssAlg SubRing
14 subrgsubg 17753 . . . 4 SubRing SubGrp
1514ad2antlr 725 . . 3 AssAlg SubRing SubGrp
16 simplll 760 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar AssAlg
17 simprl 756 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar Scalar
18 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
1918subrgss 17748 . . . . . . . . 9 SubRing
2019ad2antlr 725 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing
2120sselda 3441 . . . . . . 7 AssAlg SubRing
2221adantrl 714 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
23 eqid 2402 . . . . . . 7 Scalar Scalar
24 eqid 2402 . . . . . . 7 Scalar Scalar
25 eqid 2402 . . . . . . 7
26 eqid 2402 . . . . . . 7
271, 23, 24, 18, 25, 26asclmul1 18306 . . . . . 6 AssAlg Scalar
2816, 17, 22, 27syl3anc 1230 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar
29 simpllr 761 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar SubRing
30 simplr 754 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing Scalar
311, 23, 24asclfn 18303 . . . . . . . . . 10 Scalar
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 AssAlg SubRing Scalar
33 fnfvelrn 6005 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3432, 33sylan 469 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing Scalar
3530, 34sseldd 3442 . . . . . . 7 AssAlg SubRing Scalar
3635adantrr 715 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
37 simprr 758 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
3825subrgmcl 17759 . . . . . 6 SubRing
3929, 36, 37, 38syl3anc 1230 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar
4028, 39eqeltrrd 2491 . . . 4 AssAlg SubRing Scalar
4140ralrimivva 2824 . . 3 AssAlg SubRing Scalar
4223, 24, 18, 26, 6islss4 17926 . . . . 5 SubGrp Scalar
437, 42syl 17 . . . 4 AssAlg SubGrp Scalar
4443ad2antrr 724 . . 3 AssAlg SubRing SubGrp Scalar
4515, 41, 44mpbir2and 923 . 2 AssAlg SubRing
4613, 45impbida 833 1 AssAlg SubRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753   wss 3413  csn 3971   crn 4823   wfn 5563  cfv 5568  (class class class)co 6277  cbs 14839  cmulr 14908  Scalarcsca 14910  cvsca 14911  SubGrpcsubg 16517  cur 17471  SubRingcsubrg 17743  clmod 17830  clss 17896  clspn 17935  AssAlgcasa 18276  algSccascl 18278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-assa 18279  df-ascl 18281 This theorem is referenced by:  aspval2  18314
 Copyright terms: Public domain W3C validator