MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isstruct Structured version   Unicode version

Theorem isstruct 14288
Description: The property of being a structure with components in  M ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isstruct  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  <->  (
( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem isstruct
StepHypRef Expression
1 isstruct2 14287 . 2  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  <->  ( <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( ... `  <. M ,  N >. ) ) )
2 brinxp2 5000 . . . 4  |-  ( M (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) N  <->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N ) )
3 df-br 4393 . . . 4  |-  ( M (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) N  <->  <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) )
42, 3bitr3i 251 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  <->  <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) )
5 biid 236 . . 3  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( F 
\  { (/) } ) )
6 df-ov 6195 . . . 4  |-  ( M ... N )  =  ( ... `  <. M ,  N >. )
76sseq2i 3481 . . 3  |-  ( dom 
F  C_  ( M ... N )  <->  dom  F  C_  ( ... `  <. M ,  N >. ) )
84, 5, 73anbi123i 1177 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( M ... N ) )  <->  ( <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( ... `  <. M ,  N >. )
) )
91, 8bitr4i 252 1  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  <->  (
( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 965    e. wcel 1758    \ cdif 3425    i^i cin 3427    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   <.cop 3983   class class class wbr 4392    X. cxp 4938   dom cdm 4940   Fun wfun 5512   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    <_ cle 9522   NNcn 10425   ...cfz 11540   Struct cstr 14274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280
This theorem is referenced by:  structfn  14291  strleun  14372  strle1  14373  eengbas  23364  ebtwntg  23365  ecgrtg  23366  elntg  23367
  Copyright terms: Public domain W3C validator