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Theorem isssc 15050
Description: Value of the subcategory subset relation when the arguments are known functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isssc.1  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
isssc.2  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
isssc.3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
isssc  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    T( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem isssc
Dummy variables  t 
s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brssc 15044 . . . 4  |-  ( H 
C_cat  J  <->  E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2 fndm 5680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( t  X.  t )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
32adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
4 isssc.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  J  Fn  ( T  X.  T
) )
6 fndm 5680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( T  X.  T )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
83, 7eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
98dmeqd 5205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  ( t  X.  t
)  =  dom  ( T  X.  T ) )
10 dmxpid 5222 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
t  X.  t )  =  t
11 dmxpid 5222 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( T  X.  T )  =  T
129, 10, 113eqtr3g 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  t  =  T )
1312ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  ->  t  =  T ) )
14 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  t  =  T )
1514, 14xpeq12d 5024 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
1615fneq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( J  Fn  ( t  X.  t )  <->  J  Fn  ( T  X.  T
) ) )
174, 16syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  =  T  ->  J  Fn  (
t  X.  t ) ) )
1813, 17impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  <-> 
t  =  T ) )
1918anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Fn  ( t  X.  t
)  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
2019exbidv 1690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
211, 20syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. t
( t  =  T  /\  E. s  e. 
~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
22 isssc.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
23 pweq 4013 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ~P t  =  ~P T
)
2423rexeqdv 3065 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2524ceqsexgv 3236 . . . 4  |-  ( T  e.  V  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2622, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2721, 26bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
28 df-rex 2820 . . 3  |-  ( E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s
( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )
) )
29 3anass 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) )  <->  ( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) )
30 elixp2 7473 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
31 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
3231, 31xpex 6588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  X.  s )  e. 
_V
33 fnex 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  ( s  X.  s
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
3432, 33mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  H  e.  _V )
3534adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  ->  H  e.  _V )
3635pm4.71ri 633 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  <-> 
( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  (
s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
3729, 30, 363bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
38 fndm 5680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
40 isssc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  H  Fn  ( S  X.  S
) )
42 fndm 5680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( S  X.  S )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4439, 43eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
4544dmeqd 5205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  ( s  X.  s
)  =  dom  ( S  X.  S ) )
46 dmxpid 5222 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
s  X.  s )  =  s
47 dmxpid 5222 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( S  X.  S )  =  S
4845, 46, 473eqtr3g 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  s  =  S )
4948ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  ->  s  =  S ) )
50 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
5150, 50xpeq12d 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
5251fneq2d 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( H  Fn  ( s  X.  s )  <->  H  Fn  ( S  X.  S
) ) )
5340, 52syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  =  S  ->  H  Fn  (
s  X.  s ) ) )
5449, 53impbid 191 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  <-> 
s  =  S ) )
5554anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
5637, 55syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) )
5756anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  e.  ~P T  /\  (
s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
58 an12 795 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P T  /\  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) )
5957, 58syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) ) )
6059exbidv 1690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
6128, 60syl5bb 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  E. s
( s  =  S  /\  ( s  e. 
~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) ) )
62 exsimpl 1654 . . . . 5  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  E. s 
s  =  S )
63 isset 3117 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  <->  E. s 
s  =  S )
6462, 63sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  S  e.  _V )
6564a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  ->  S  e.  _V ) )
66 ssexg 4593 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  e.  V )  ->  S  e.  _V )
6766expcom 435 . . . . 5  |-  ( T  e.  V  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V ) )
6822, 67syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V )
)
6968adantrd 468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) )  ->  S  e.  _V ) )
7031elpw 4016 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P T  <->  s  C_  T )
71 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  T  <->  S  C_  T
) )
7270, 71syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  e.  ~P T  <->  S 
C_  T ) )
7351raleqdv 3064 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )
74 fvex 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
7574elpw 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z )  <->  ( H `  z )  C_  ( J `  z )
)
76 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
77 df-ov 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
7876, 77syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
79 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
)
80 df-ov 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x J y )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
8179, 80syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( x J y ) )
8278, 81sseq12d 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  C_  ( J `  z )  <-> 
( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8375, 82syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8483ralxp 5144 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) )
8573, 84syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x H y ) 
C_  ( x J y ) ) )
8672, 85anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
8786ceqsexgv 3236 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
8887a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) ) )
8965, 69, 88pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
9027, 61, 893bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   X_cixp 7469    C_cat cssc 15037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-ixp 7470  df-ssc 15040
This theorem is referenced by:  ssc1  15051  ssc2  15052  sscres  15053  ssctr  15055
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