Theorem isssc 14738

Description: Value of the subcategory subset relation when the arguments are known functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isssc.1	|- ( ph -> H Fn ( S X. S ) )
isssc.2	|- ( ph -> J Fn ( T X. T ) )
isssc.3	|- ( ph -> T e. V )

Assertion

Ref	Expression
isssc	|- ( ph -> ( H C_cat J <-> ( S C_ T /\ A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, H   x, J, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   T( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem isssc

Dummy variables t s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brssc 14732	. . . 4 |- ( H C_cat J <-> E. t ( J Fn ( t X. t ) /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) )
2		fndm 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J Fn ( t X. t ) -> dom J = ( t X. t ) )
3	2	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J Fn ( t X. t ) ) -> dom J = ( t X. t ) )
4		isssc.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J Fn ( T X. T ) )
5	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J Fn ( t X. t ) ) -> J Fn ( T X. T ) )
6		fndm 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J Fn ( T X. T ) -> dom J = ( T X. T ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J Fn ( t X. t ) ) -> dom J = ( T X. T ) )
8	3, 7	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J Fn ( t X. t ) ) -> ( t X. t ) = ( T X. T ) )
9	8	dmeqd 5047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J Fn ( t X. t ) ) -> dom ( t X. t ) = dom ( T X. T ) )
10		dmxpid 5064	. . . . . . . . 9 |- dom ( t X. t ) = t
11		dmxpid 5064	. . . . . . . . 9 |- dom ( T X. T ) = T
12	9, 10, 11	3eqtr3g 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J Fn ( t X. t ) ) -> t = T )
13	12	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J Fn ( t X. t ) -> t = T ) )
14		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> t = T )
15	14, 14	xpeq12d 4870	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( t X. t ) = ( T X. T ) )
16	15	fneq2d 5507	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( J Fn ( t X. t ) <-> J Fn ( T X. T ) ) )
17	4, 16	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t = T -> J Fn ( t X. t ) ) )
18	13, 17	impbid 191	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J Fn ( t X. t ) <-> t = T ) )
19	18	anbi1d 704	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J Fn ( t X. t ) /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) <-> ( t = T /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) ) )
20	19	exbidv 1680	. . . 4 |- ( ph -> ( E. t ( J Fn ( t X. t ) /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) <-> E. t ( t = T /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) ) )
21	1, 20	syl5bb 257	. . 3 |- ( ph -> ( H C_cat J <-> E. t ( t = T /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) ) )
22		isssc.3	. . . 4 |- ( ph -> T e. V )
23		pweq 3868	. . . . . 6 |- ( t = T -> ~P t = ~P T )
24	23	rexeqdv 2929	. . . . 5 |- ( t = T -> ( E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) <-> E. s e. ~P T H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) )
25	24	ceqsexgv 3097	. . . 4 |- ( T e. V -> ( E. t ( t = T /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) <-> E. s e. ~P T H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) )
26	22, 25	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( E. t ( t = T /\ E. s e. ~P t H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) <-> E. s e. ~P T H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) )
27	21, 26	bitrd 253	. 2 |- ( ph -> ( H C_cat J <-> E. s e. ~P T H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) )
28		df-rex 2726	. . 3 |- ( E. s e. ~P T H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) <-> E. s ( s e. ~P T /\ H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) )
29		3anass 969	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. _V /\ H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) <-> ( H e. _V /\ ( H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) )
30		elixp2 7272	. . . . . . . 8 |- ( H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) <-> ( H e. _V /\ H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) )
31		vex 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- s e. _V
32	31, 31	xpex 6513	. . . . . . . . . . 11 |- ( s X. s ) e. _V
33		fnex 5949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Fn ( s X. s ) /\ ( s X. s ) e. _V ) -> H e. _V )
34	32, 33	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn ( s X. s ) -> H e. _V )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) -> H e. _V )
36	35	pm4.71ri 633	. . . . . . . 8 |- ( ( H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) <-> ( H e. _V /\ ( H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) )
37	29, 30, 36	3bitr4i 277	. . . . . . 7 |- ( H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) <-> ( H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) )
38		fndm 5515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H Fn ( s X. s ) -> dom H = ( s X. s ) )
39	38	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ H Fn ( s X. s ) ) -> dom H = ( s X. s ) )
40		isssc.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H Fn ( S X. S ) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ H Fn ( s X. s ) ) -> H Fn ( S X. S ) )
42		fndm 5515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H Fn ( S X. S ) -> dom H = ( S X. S ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ H Fn ( s X. s ) ) -> dom H = ( S X. S ) )
44	39, 43	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ H Fn ( s X. s ) ) -> ( s X. s ) = ( S X. S ) )
45	44	dmeqd 5047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ H Fn ( s X. s ) ) -> dom ( s X. s ) = dom ( S X. S ) )
46		dmxpid 5064	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( s X. s ) = s
47		dmxpid 5064	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( S X. S ) = S
48	45, 46, 47	3eqtr3g 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ H Fn ( s X. s ) ) -> s = S )
49	48	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H Fn ( s X. s ) -> s = S ) )
50		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> s = S )
51	50, 50	xpeq12d 4870	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( s X. s ) = ( S X. S ) )
52	51	fneq2d 5507	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( H Fn ( s X. s ) <-> H Fn ( S X. S ) ) )
53	40, 52	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s = S -> H Fn ( s X. s ) ) )
54	49, 53	impbid 191	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H Fn ( s X. s ) <-> s = S ) )
55	54	anbi1d 704	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( H Fn ( s X. s ) /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) <-> ( s = S /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) )
56	37, 55	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) <-> ( s = S /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) )
57	56	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( s e. ~P T /\ H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) <-> ( s e. ~P T /\ ( s = S /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) ) )
58		an12 795	. . . . 5 |- ( ( s e. ~P T /\ ( s = S /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) <-> ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) )
59	57, 58	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ~P T /\ H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) <-> ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) ) )
60	59	exbidv 1680	. . 3 |- ( ph -> ( E. s ( s e. ~P T /\ H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) ) <-> E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) ) )
61	28, 60	syl5bb 257	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. ~P T H e. X_ z e. ( s X. s ) ~P ( J ` z ) <-> E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) ) )
62		exsimpl 1644	. . . . 5 |- ( E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) -> E. s s = S )
63		isset 2981	. . . . 5 |- ( S e. _V <-> E. s s = S )
64	62, 63	sylibr 212	. . . 4 |- ( E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) -> S e. _V )
65	64	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) -> S e. _V ) )
66		ssexg 4443	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T e. V ) -> S e. _V )
67	66	expcom 435	. . . . 5 |- ( T e. V -> ( S C_ T -> S e. _V ) )
68	22, 67	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( S C_ T -> S e. _V ) )
69	68	adantrd 468	. . 3 |- ( ph -> ( ( S C_ T /\ A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) -> S e. _V ) )
70	31	elpw 3871	. . . . . . 7 |- ( s e. ~P T <-> s C_ T )
71		sseq1 3382	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( s C_ T <-> S C_ T ) )
72	70, 71	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( s e. ~P T <-> S C_ T ) )
73	51	raleqdv 2928	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) <-> A. z e. ( S X. S ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) )
74		fvex 5706	. . . . . . . . . 10 |- ( H ` z ) e. _V
75	74	elpw 3871	. . . . . . . . 9 |- ( ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) <-> ( H ` z ) C_ ( J ` z ) )
76		fveq2 5696	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( H ` <. x , y >. ) )
77		df-ov 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( x H y ) = ( H ` <. x , y >. )
78	76, 77	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( x H y ) )
79		fveq2 5696	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( J ` z ) = ( J ` <. x , y >. ) )
80		df-ov 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( x J y ) = ( J ` <. x , y >. )
81	79, 80	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( J ` z ) = ( x J y ) )
82	78, 81	sseq12d 3390	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( H ` z ) C_ ( J ` z ) <-> ( x H y ) C_ ( x J y ) ) )
83	75, 82	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) <-> ( x H y ) C_ ( x J y ) ) )
84	83	ralxp 4986	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( S X. S ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) )
85	73, 84	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) )
86	72, 85	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) <-> ( S C_ T /\ A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) ) )
87	86	ceqsexgv 3097	. . . 4 |- ( S e. _V -> ( E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) <-> ( S C_ T /\ A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) ) )
88	87	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( S e. _V -> ( E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) <-> ( S C_ T /\ A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) ) ) )
89	65, 69, 88	pm5.21ndd 354	. 2 |- ( ph -> ( E. s ( s = S /\ ( s e. ~P T /\ A. z e. ( s X. s ) ( H ` z ) e. ~P ( J ` z ) ) ) <-> ( S C_ T /\ A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) ) )
90	27, 61, 89	3bitrd 279	1 |- ( ph -> ( H C_cat J <-> ( S C_ T /\ A. x e. S A. y e. S ( x H y ) C_ ( x J y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   <.cop 3888   class class class wbr 4297   X. cxp 4843   dom cdm 4845   Fn wfn 5418   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   X_cixp 7268   C__cat cssc 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-ixp 7269  df-ssc 14728

This theorem is referenced by:  ssc1  14739  ssc2  14740  sscres  14741  ssctr  14743