Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issrngd Structured version   Unicode version

Theorem issrngd 17830
 Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k
issrngd.p
issrngd.t
issrngd.c
issrngd.r
issrngd.cl
issrngd.dp
issrngd.dt
issrngd.id
Assertion
Ref Expression
issrngd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3
2 eqid 2402 . . 3
3 eqid 2402 . . . 4 oppr oppr
43, 2oppr1 17603 . . 3 oppr
5 eqid 2402 . . 3
6 eqid 2402 . . 3 oppr oppr
7 issrngd.r . . 3
83opprring 17600 . . . 4 oppr
97, 8syl 17 . . 3 oppr
101, 2ringidcl 17539 . . . . . . . . 9
117, 10syl 17 . . . . . . . 8
12 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13
1312ex 432 . . . . . . . . . . . 12
14 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13
1514eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . 12
16 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14
1716fveq1d 5851 . . . . . . . . . . . . . 14
1816, 17fveq12d 5855 . . . . . . . . . . . . 13
1918eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . 12
2013, 15, 193imtr3d 267 . . . . . . . . . . 11
2120imp 427 . . . . . . . . . 10
2221eqcomd 2410 . . . . . . . . 9
2322ralrimiva 2818 . . . . . . . 8
24 id 22 . . . . . . . . . 10
25 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11
2625fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10
2724, 26eqeq12d 2424 . . . . . . . . 9
2827rspcv 3156 . . . . . . . 8
2911, 23, 28sylc 59 . . . . . . 7
3029oveq1d 6293 . . . . . 6
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11
3231ex 432 . . . . . . . . . 10
3317, 14eleq12d 2484 . . . . . . . . . 10
3432, 15, 333imtr3d 267 . . . . . . . . 9
3534ralrimiv 2816 . . . . . . . 8
3625eleq1d 2471 . . . . . . . . 9
3736rspcv 3156 . . . . . . . 8
3811, 35, 37sylc 59 . . . . . . 7
39 issrngd.dt . . . . . . . . . 10
40393expib 1200 . . . . . . . . 9
4114eleq2d 2472 . . . . . . . . . 10
4215, 41anbi12d 709 . . . . . . . . 9
43 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12
4443oveqd 6295 . . . . . . . . . . 11
4516, 44fveq12d 5855 . . . . . . . . . 10
4616fveq1d 5851 . . . . . . . . . . 11
4743, 46, 17oveq123d 6299 . . . . . . . . . 10
4845, 47eqeq12d 2424 . . . . . . . . 9
4940, 42, 483imtr3d 267 . . . . . . . 8
5049ralrimivv 2824 . . . . . . 7
51 oveq1 6285 . . . . . . . . . 10
5251fveq2d 5853 . . . . . . . . 9
5325oveq2d 6294 . . . . . . . . 9
5452, 53eqeq12d 2424 . . . . . . . 8
55 oveq2 6286 . . . . . . . . . 10
5655fveq2d 5853 . . . . . . . . 9
57 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10
5857oveq1d 6293 . . . . . . . . 9
5956, 58eqeq12d 2424 . . . . . . . 8
6054, 59rspc2va 3170 . . . . . . 7
6111, 38, 50, 60syl21anc 1229 . . . . . 6
6230, 61eqtr4d 2446 . . . . 5
631, 5, 2ringlidm 17542 . . . . . 6
647, 38, 63syl2anc 659 . . . . 5
6564fveq2d 5853 . . . . 5
6662, 64, 653eqtr3d 2451 . . . 4
67 eqid 2402 . . . . . 6
68 eqid 2402 . . . . . 6
691, 67, 68stafval 17817 . . . . 5
7011, 69syl 17 . . . 4
7166, 70, 293eqtr4d 2453 . . 3
7249imp 427 . . . . 5
731, 5, 3, 6opprmul 17595 . . . . 5 oppr
7472, 73syl6eqr 2461 . . . 4 oppr
751, 5ringcl 17532 . . . . . . 7
76753expb 1198 . . . . . 6
777, 76sylan 469 . . . . 5
781, 67, 68stafval 17817 . . . . 5
7977, 78syl 17 . . . 4
801, 67, 68stafval 17817 . . . . . 6
811, 67, 68stafval 17817 . . . . . 6
8280, 81oveqan12d 6297 . . . . 5 oppr oppr
8382adantl 464 . . . 4 oppr oppr
8474, 79, 833eqtr4d 2453 . . 3 oppr
853, 1opprbas 17598 . . 3 oppr
86 eqid 2402 . . 3
873, 86oppradd 17599 . . 3 oppr
8834imp 427 . . . 4
891, 67, 68staffval 17816 . . . 4
9088, 89fmptd 6033 . . 3
91 issrngd.dp . . . . . . 7
92913expib 1200 . . . . . 6
93 issrngd.p . . . . . . . . 9
9493oveqd 6295 . . . . . . . 8
9516, 94fveq12d 5855 . . . . . . 7
9693, 17, 46oveq123d 6299 . . . . . . 7
9795, 96eqeq12d 2424 . . . . . 6
9892, 42, 973imtr3d 267 . . . . 5
9998imp 427 . . . 4
1001, 86ringacl 17546 . . . . . . 7
1011003expb 1198 . . . . . 6
1027, 101sylan 469 . . . . 5
1031, 67, 68stafval 17817 . . . . 5
104102, 103syl 17 . . . 4
10580, 81oveqan12d 6297 . . . . 5
106105adantl 464 . . . 4
10799, 104, 1063eqtr4d 2453 . . 3
1081, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107isrhmd 17698 . 2 RingHom oppr
1091, 67, 68staffval 17816 . . . . . . . 8
110109fmpt 6030 . . . . . . 7
11190, 110sylibr 212 . . . . . 6
112111r19.21bi 2773 . . . . 5
113 id 22 . . . . . . . . . . 11
114 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12
115114fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11
116113, 115eqeq12d 2424 . . . . . . . . . 10
117116rspccva 3159 . . . . . . . . 9
11823, 117sylan 469 . . . . . . . 8
119118adantrl 714 . . . . . . 7
120 fveq2 5849 . . . . . . . 8
121120eqeq2d 2416 . . . . . . 7
122119, 121syl5ibrcom 222 . . . . . 6
12322adantrr 715 . . . . . . 7
124 fveq2 5849 . . . . . . . 8
125124eqeq2d 2416 . . . . . . 7
126123, 125syl5ibrcom 222 . . . . . 6
127122, 126impbid 190 . . . . 5
12889, 88, 112, 127f1ocnv2d 6507 . . . 4
129128simprd 461 . . 3
130129, 109syl6reqr 2462 . 2
1313, 68issrng 17819 . 2 RingHom oppr
132108, 130, 131sylanbrc 662 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754   cmpt 4453  ccnv 4822  wf 5565  wf1o 5568  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909  cmulr 14910  cstv 14911  cur 17473  crg 17518  opprcoppr 17591   RingHom crh 17681  cstf 17812  csr 17813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-ghm 16589  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-rnghom 17684  df-staf 17814  df-srng 17815 This theorem is referenced by:  idsrngd  17831  cnsrng  18772  hlhilsrnglem  34976
 Copyright terms: Public domain W3C validator