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Theorem issrngd 17830
Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
issrngd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
issrngd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
issrngd.c  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )
issrngd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
issrngd.cl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
issrngd.dp  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
issrngd.dt  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
issrngd.id  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
Assertion
Ref Expression
issrngd  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .* ( x, y)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2402 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
43, 2oppr1 17603 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2402 . . 3  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
7 issrngd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
83opprring 17600 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (oppr `  R
)  e.  Ring )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppr
`  R )  e. 
Ring )
101, 2ringidcl 17539 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
117, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
12 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
1312ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x ) )
14 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
1514eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( Base `  R
) ) )
16 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )
1716fveq1d 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .*  `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  x )
)
1816, 17fveq12d 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
1918eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x  <->  ( (
*r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  =  x ) )
2013, 15, 193imtr3d 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  x ) )  =  x ) )
2120imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  =  x )
2221eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  x  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  x ) ) )
2322ralrimiva 2818 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
) )
24 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  x  =  ( 1r `  R ) )
25 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( *r `  R ) `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
2625fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  <->  ( 1r `  R )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2827rspcv 3156 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) x  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  x ) )  -> 
( 1r `  R
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2911, 23, 28sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
3029oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
3231ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  x
)  e.  K ) )
3317, 14eleq12d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  e.  K  <->  ( ( *r `  R ) `  x
)  e.  ( Base `  R ) ) )
3432, 15, 333imtr3d 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( *r `  R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
) )
3534ralrimiv 2816 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( ( *r `  R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
)
3625eleq1d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( *r `  R ) `  x )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3736rspcv 3156 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) ( ( *r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3811, 35, 37sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
39 issrngd.dt . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
40393expib 1200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) ) ) )
4114eleq2d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  y  e.  ( Base `  R
) ) )
4215, 41anbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) ) )
43 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
4443oveqd 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  .x.  y
)  =  ( x ( .r `  R
) y ) )
4516, 44fveq12d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
4616fveq1d 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  .*  `  y
)  =  ( ( *r `  R
) `  y )
)
4743, 46, 17oveq123d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
4845, 47eqeq12d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y ) 
.x.  (  .*  `  x ) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 x ) ) ) )
4940, 42, 483imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 x ) ) ) )
5049ralrimivv 2824 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  x )
) )
51 oveq1 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )
5251fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) ) )
5325oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  x
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5452, 53eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( *r `  R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  x
) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
55 oveq2 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y )  =  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
5655fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( *r `  R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
57 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( *r `  R ) `  y )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5857oveq1d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5956, 58eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( *r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ) )
6054, 59rspc2va 3170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  x ) ) )  ->  ( ( *r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
6111, 38, 50, 60syl21anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6230, 61eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
631, 5, 2ringlidm 17542 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
647, 38, 63syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
6564fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6662, 64, 653eqtr3d 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
67 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( *r `  R )  =  ( *r `  R )
68 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
691, 67, 68stafval 17817 . . . . 5  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
7011, 69syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( *rf `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
7166, 70, 293eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( *rf `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
7249imp 427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  x )
) )
731, 5, 3, 6opprmul 17595 . . . . 5  |-  ( ( ( *r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  x
) )
7472, 73syl6eqr 2461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y
) ) )
751, 5ringcl 17532 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
76753expb 1198 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( Base `  R ) )
777, 76sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
781, 67, 68stafval 17817 . . . . 5  |-  ( ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
7977, 78syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) ) )
801, 67, 68stafval 17817 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  x )
)
811, 67, 68stafval 17817 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  y
)  =  ( ( *r `  R
) `  y )
)
8280, 81oveqan12d 6297 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( *rf `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
8382adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( *rf `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
8474, 79, 833eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( *rf `  R ) `  y
) ) )
853, 1opprbas 17598 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (oppr
`  R ) )
86 eqid 2402 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
873, 86oppradd 17599 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (oppr `  R
) )
8834imp 427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
) )
891, 67, 68staffval 17816 . . . 4  |-  ( *rf `  R
)  =  ( x  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 x ) )
9088, 89fmptd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *rf `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
91 issrngd.dp . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
92913expib 1200 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) ) ) )
93 issrngd.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
9493oveqd 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
9516, 94fveq12d 5855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
9693, 17, 46oveq123d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
9795, 96eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x ) 
.+  (  .*  `  y ) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) ) )
9892, 42, 973imtr3d 267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) ) )
9998imp 427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
1001, 86ringacl 17546 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
1011003expb 1198 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
1027, 101sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
1031, 67, 68stafval 17817 . . . . 5  |-  ( ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
104102, 103syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
10580, 81oveqan12d 6297 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *rf `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
106105adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *rf `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
10799, 104, 1063eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  x ) ( +g  `  R ) ( ( *rf `  R ) `  y
) ) )
1081, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107isrhmd 17698 . 2  |-  ( ph  ->  ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) ) )
1091, 67, 68staffval 17816 . . . . . . . 8  |-  ( *rf `  R
)  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 y ) )
110109fmpt 6030 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( *r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( *rf `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
11190, 110sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  R )
( ( *r `  R ) `  y )  e.  (
Base `  R )
)
112111r19.21bi 2773 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
) )
113 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
114 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( *r `  R ) `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  y )
)
115114fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) )
116113, 115eqeq12d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  <->  y  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) ) )
117116rspccva 3159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
11823, 117sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
119118adantrl 714 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 y ) ) )
120 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( *r `  R ) `
 y )  -> 
( ( *r `  R ) `  x )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) )
121120eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( *r `  R ) `
 y )  -> 
( y  =  ( ( *r `  R ) `  x
)  <->  y  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) ) )
122119, 121syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  y )  ->  y  =  ( ( *r `  R
) `  x )
) )
12322adantrr 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  =  ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
124 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 x )  -> 
( ( *r `  R ) `  y )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) ) )
125124eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 x )  -> 
( x  =  ( ( *r `  R ) `  y
)  <->  x  =  (
( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) ) ) )
126123, 125syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y  =  ( ( *r `  R
) `  x )  ->  x  =  ( ( *r `  R
) `  y )
) )
127122, 126impbid 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  y )  <->  y  =  ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
12889, 88, 112, 127f1ocnv2d 6507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( *rf `  R ) : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  /\  `' ( *rf `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 y ) ) ) )
129128simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( *rf `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 y ) ) )
130129, 109syl6reqr 2462 . 2  |-  ( ph  ->  ( *rf `  R )  =  `' ( *rf `  R ) )
1313, 68issrng 17819 . 2  |-  ( R  e.  *Ring 
<->  ( ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr `  R
) )  /\  (
*rf `  R )  =  `' ( *rf `  R ) ) )
132108, 130, 131sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   .rcmulr 14910   *rcstv 14911   1rcur 17473   Ringcrg 17518  opprcoppr 17591   RingHom crh 17681   *rfcstf 17812   *Ringcsr 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-ghm 16589  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-rnghom 17684  df-staf 17814  df-srng 17815
This theorem is referenced by:  idsrngd  17831  cnsrng  18772  hlhilsrnglem  34976
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