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Theorem issrngd 15904
Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
issrngd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
issrngd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
issrngd.c  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  R ) )
issrngd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
issrngd.cl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
issrngd.dp  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
issrngd.dt  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
issrngd.id  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
Assertion
Ref Expression
issrngd  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .* ( x, y)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2404 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
43, 2oppr1 15694 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
5 eqid 2404 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2404 . . 3  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
7 issrngd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
83opprrng 15691 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (oppr `  R
)  e.  Ring )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppr
`  R )  e. 
Ring )
101, 2rngidcl 15639 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
117, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
12 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
1312ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x ) )
14 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
1514eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( Base `  R
) ) )
16 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  R ) )
1716fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .*  `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  x )
)
1816, 17fveq12d 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
1918eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x  <->  ( (
* r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  =  x ) )
2013, 15, 193imtr3d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) )  =  x ) )
2120imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  =  x )
2221eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  x  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) ) )
2322ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
) )
24 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  x  =  ( 1r `  R ) )
25 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
2625fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  <->  ( 1r `  R )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2827rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) x  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) )  -> 
( 1r `  R
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2911, 23, 28sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
3029oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
3231ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  x
)  e.  K ) )
3317, 14eleq12d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  e.  K  <->  ( ( * r `  R ) `  x
)  e.  ( Base `  R ) ) )
3432, 15, 333imtr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
) )
3534ralrimiv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
)
3625eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3736rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3811, 35, 37sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
39 issrngd.dt . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
40393expib 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) ) ) )
4114eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  y  e.  ( Base `  R
) ) )
4215, 41anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) ) )
43 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
4443oveqd 6057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  .x.  y
)  =  ( x ( .r `  R
) y ) )
4516, 44fveq12d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
4616fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  .*  `  y
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
4743, 46, 17oveq123d 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
4845, 47eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y ) 
.x.  (  .*  `  x ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) ) )
4940, 42, 483imtr3d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) ) )
5049ralrimivv 2757 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )
) )
51 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )
5251fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) ) )
5325oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5452, 53eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
55 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y )  =  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
5655fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
57 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( * r `
 R ) `  y )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5857oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5956, 58eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( * r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ) )
6054, 59rspc2va 3019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  x ) ) )  ->  ( ( * r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
6111, 38, 50, 60syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6230, 61eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
631, 5, 2rnglidm 15642 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
647, 38, 63syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
6564fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6662, 64, 653eqtr3d 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
67 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( * r `  R )  =  ( * r `
 R )
68 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( * r f `  R
)  =  ( * r f `  R
)
691, 67, 68stafval 15891 . . . . 5  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
7011, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )
7166, 70, 293eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
7249imp 419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )
) )
731, 5, 3, 6opprmul 15686 . . . . 5  |-  ( ( ( * r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( * r `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )
7472, 73syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( * r `  R ) `  y
) ) )
751, 5rngcl 15632 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
76753expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( Base `  R ) )
777, 76sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
781, 67, 68stafval 15891 . . . . 5  |-  ( ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
7977, 78syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) ) )
801, 67, 68stafval 15891 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  x )
)
811, 67, 68stafval 15891 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  y
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
8280, 81oveqan12d 6059 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
8382adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
8474, 79, 833eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) ) )
853, 1opprbas 15689 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (oppr
`  R ) )
86 eqid 2404 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
873, 86oppradd 15690 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (oppr `  R
) )
8834imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
) )
891, 67, 68staffval 15890 . . . 4  |-  ( * r f `  R
)  =  ( x  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 x ) )
9088, 89fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
91 issrngd.dp . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
92913expib 1156 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) ) ) )
93 issrngd.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
9493oveqd 6057 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
9516, 94fveq12d 5693 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
9693, 17, 46oveq123d 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
9795, 96eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x ) 
.+  (  .*  `  y ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) ) )
9892, 42, 973imtr3d 259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) ) )
9998imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
1001, 86rngacl 15646 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
1011003expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
1027, 101sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
1031, 67, 68stafval 15891 . . . . 5  |-  ( ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
104102, 103syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
10580, 81oveqan12d 6059 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
106105adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
10799, 104, 1063eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r f `
 R ) `  x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `  y
) ) )
1081, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107isrhmd 15785 . 2  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) ) )
1091, 67, 68staffval 15890 . . . . . . . 8  |-  ( * r f `  R
)  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) )
110109fmpt 5849 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( * r f `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
11190, 110sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  R )
( ( * r `
 R ) `  y )  e.  (
Base `  R )
)
112111r19.21bi 2764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
) )
113 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
114 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( * r `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
115114fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) )
116113, 115eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) ) )
117116rspccva 3011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
11823, 117sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
119118adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 y ) ) )
120 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( * r `  R ) `
 y )  -> 
( ( * r `
 R ) `  x )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) )
121120eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( * r `  R ) `
 y )  -> 
( y  =  ( ( * r `  R ) `  x
)  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) ) )
122119, 121syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  y )  ->  y  =  ( ( * r `  R
) `  x )
) )
12322adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
124 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 x )  -> 
( ( * r `
 R ) `  y )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) ) )
125124eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 x )  -> 
( x  =  ( ( * r `  R ) `  y
)  <->  x  =  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) ) ) )
126123, 125syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y  =  ( ( * r `  R
) `  x )  ->  x  =  ( ( * r `  R
) `  y )
) )
127122, 126impbid 184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  y )  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
12889, 88, 112, 127f1ocnv2d 6254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  /\  `' ( * r f `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) ) ) )
129128simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( * r f `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) ) )
130129, 109syl6reqr 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R )  =  `' ( * r f `  R ) )
1313, 68issrng 15893 . 2  |-  ( R  e.  *Ring 
<->  ( ( * r f `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr `  R
) )  /\  (
* r f `  R )  =  `' ( * r f `
 R ) ) )
132108, 130, 131sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   * rcstv 13486   Ringcrg 15615   1rcur 15617  opprcoppr 15682   RingHom crh 15772   * r fcstf 15886   *Ringcsr 15887
This theorem is referenced by:  cnsrng  16690  hlhilsrnglem  32439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-ghm 14959  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-rnghom 15774  df-staf 15888  df-srng 15889
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