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Theorem issrngd 17293
Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
issrngd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
issrngd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
issrngd.c  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )
issrngd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
issrngd.cl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
issrngd.dp  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
issrngd.dt  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
issrngd.id  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
Assertion
Ref Expression
issrngd  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .* ( x, y)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2467 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
43, 2oppr1 17067 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
7 issrngd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
83opprrng 17064 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (oppr `  R
)  e.  Ring )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppr
`  R )  e. 
Ring )
101, 2rngidcl 17006 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
117, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
12 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x ) )
14 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
1514eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( Base `  R
) ) )
16 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )
1716fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .*  `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  x )
)
1816, 17fveq12d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
1918eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x  <->  ( (
*r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  =  x ) )
2013, 15, 193imtr3d 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  x ) )  =  x ) )
2120imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  =  x )
2221eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  x  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  x ) ) )
2322ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
) )
24 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  x  =  ( 1r `  R ) )
25 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( *r `  R ) `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
2625fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  <->  ( 1r `  R )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2827rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) x  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  x ) )  -> 
( 1r `  R
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2911, 23, 28sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
3029oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
3231ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  x
)  e.  K ) )
3317, 14eleq12d 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  e.  K  <->  ( ( *r `  R ) `  x
)  e.  ( Base `  R ) ) )
3432, 15, 333imtr3d 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( *r `  R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
) )
3534ralrimiv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( ( *r `  R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
)
3625eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( *r `  R ) `  x )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3736rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) ( ( *r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3811, 35, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
39 issrngd.dt . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
40393expib 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) ) ) )
4114eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  y  e.  ( Base `  R
) ) )
4215, 41anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) ) )
43 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
4443oveqd 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  .x.  y
)  =  ( x ( .r `  R
) y ) )
4516, 44fveq12d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
4616fveq1d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  .*  `  y
)  =  ( ( *r `  R
) `  y )
)
4743, 46, 17oveq123d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
4845, 47eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y ) 
.x.  (  .*  `  x ) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 x ) ) ) )
4940, 42, 483imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 x ) ) ) )
5049ralrimivv 2884 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  x )
) )
51 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )
5251fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) ) )
5325oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  x
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5452, 53eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( *r `  R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  x
) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
55 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y )  =  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
5655fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( *r `  R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
57 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( *r `  R ) `  y )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5857oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5956, 58eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( *r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ) )
6054, 59rspc2va 3224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  x ) ) )  ->  ( ( *r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
6111, 38, 50, 60syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6230, 61eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
631, 5, 2rnglidm 17009 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
647, 38, 63syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
6564fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6662, 64, 653eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
67 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( *r `  R )  =  ( *r `  R )
68 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( *rf `  R
)  =  ( *rf `  R
)
691, 67, 68stafval 17280 . . . . 5  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
7011, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( *rf `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( ( *r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
7166, 70, 293eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( *rf `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
7249imp 429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( *r `  R
) `  x )
) )
731, 5, 3, 6opprmul 17059 . . . . 5  |-  ( ( ( *r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( *r `  R ) `  x
) )
7472, 73syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y
) ) )
751, 5rngcl 16999 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
76753expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( Base `  R ) )
777, 76sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
781, 67, 68stafval 17280 . . . . 5  |-  ( ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
7977, 78syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) ) )
801, 67, 68stafval 17280 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  x )
)
811, 67, 68stafval 17280 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  y
)  =  ( ( *r `  R
) `  y )
)
8280, 81oveqan12d 6301 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( *rf `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
8382adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( *rf `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( *r `  R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
8474, 79, 833eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( *rf `  R ) `  y
) ) )
853, 1opprbas 17062 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (oppr
`  R ) )
86 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
873, 86oppradd 17063 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (oppr `  R
) )
8834imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
) )
891, 67, 68staffval 17279 . . . 4  |-  ( *rf `  R
)  =  ( x  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 x ) )
9088, 89fmptd 6043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *rf `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
91 issrngd.dp . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
92913expib 1199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) ) ) )
93 issrngd.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
9493oveqd 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
9516, 94fveq12d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
9693, 17, 46oveq123d 6303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
9795, 96eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x ) 
.+  (  .*  `  y ) )  <->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) ) )
9892, 42, 973imtr3d 267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( *r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) ) )
9998imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *r `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
1001, 86rngacl 17013 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
1011003expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
1027, 101sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
1031, 67, 68stafval 17280 . . . . 5  |-  ( ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
*rf `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( *r `  R ) `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
104102, 103syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( *r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
10580, 81oveqan12d 6301 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *rf `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
106105adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( *rf `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( *rf `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( *r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
10799, 104, 1063eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( *rf `  R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( *rf `  R ) `  x ) ( +g  `  R ) ( ( *rf `  R ) `  y
) ) )
1081, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107isrhmd 17162 . 2  |-  ( ph  ->  ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) ) )
1091, 67, 68staffval 17279 . . . . . . . 8  |-  ( *rf `  R
)  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 y ) )
110109fmpt 6040 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( *r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( *rf `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
11190, 110sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  R )
( ( *r `  R ) `  y )  e.  (
Base `  R )
)
112111r19.21bi 2833 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
*r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
) )
113 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
114 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( *r `  R ) `  x
)  =  ( ( *r `  R
) `  y )
)
115114fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) )
116113, 115eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  <->  y  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) ) )
117116rspccva 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( *r `  R
) `  ( (
*r `  R
) `  x )
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
11823, 117sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( *r `  R ) `  ( ( *r `  R ) `  y ) ) )
119118adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  =  ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 y ) ) )
120 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( *r `  R ) `
 y )  -> 
( ( *r `  R ) `  x )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) )
121120eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( *r `  R ) `
 y )  -> 
( y  =  ( ( *r `  R ) `  x
)  <->  y  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  y
) ) ) )
122119, 121syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  y )  ->  y  =  ( ( *r `  R
) `  x )
) )
12322adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  =  ( ( *r `  R ) `
 ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
124 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 x )  -> 
( ( *r `  R ) `  y )  =  ( ( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) ) )
125124eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( *r `  R ) `
 x )  -> 
( x  =  ( ( *r `  R ) `  y
)  <->  x  =  (
( *r `  R ) `  (
( *r `  R ) `  x
) ) ) )
126123, 125syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y  =  ( ( *r `  R
) `  x )  ->  x  =  ( ( *r `  R
) `  y )
) )
127122, 126impbid 191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( *r `  R
) `  y )  <->  y  =  ( ( *r `  R ) `
 x ) ) )
12889, 88, 112, 127f1ocnv2d 6508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( *rf `  R ) : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  /\  `' ( *rf `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 y ) ) ) )
129128simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( *rf `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( *r `  R ) `
 y ) ) )
130129, 109syl6reqr 2527 . 2  |-  ( ph  ->  ( *rf `  R )  =  `' ( *rf `  R ) )
1313, 68issrng 17282 . 2  |-  ( R  e.  *Ring 
<->  ( ( *rf `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr `  R
) )  /\  (
*rf `  R )  =  `' ( *rf `  R ) ) )
132108, 130, 131sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552   *rcstv 14553   1rcur 16943   Ringcrg 16986  opprcoppr 17055   RingHom crh 17145   *rfcstf 17275   *Ringcsr 17276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-ghm 16060  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-rnghom 17148  df-staf 17277  df-srng 17278
This theorem is referenced by:  idsrngd  17294  cnsrng  18223  hlhilsrnglem  36753
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