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Theorem issrg 17481
Description: The predicate "is a semiring." (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
issrg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
issrg.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
issrg.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
issrg.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
issrg.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
issrg  |-  ( R  e. SRing 
<->  ( R  e. CMnd  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .+    x,  .0. , y,
z    x,  .x. , y, z   
x, B, y, z   
x, R, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)

Proof of Theorem issrg
Dummy variables  n  b  p  r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issrg.g . . . . . 6  |-  G  =  (mulGrp `  R )
21eleq1i 2481 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  <->  (mulGrp `  R
)  e.  Mnd )
32bicomi 204 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  <->  G  e.  Mnd )
4 issrg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 fvex 5861 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
64, 5eqeltri 2488 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
7 issrg.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
8 fvex 5861 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  e.  _V
97, 8eqeltri 2488 . . . . 5  |-  .+  e.  _V
10 issrg.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
11 fvex 5861 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  e. 
_V
1210, 11eqeltri 2488 . . . . . . 7  |-  .x.  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  ->  .x.  e.  _V )
14 issrg.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
15 fvex 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1614, 15eqeltri 2488 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  .0.  e.  _V )
18 simplll 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  b  =  B )
19 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  t  =  .x.  )
20 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  x  =  x )
21 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  p  =  .+  )
2221oveqd 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
y p z )  =  ( y  .+  z ) )
2319, 20, 22oveq123d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t ( y p z ) )  =  ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) )
2419oveqd 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t y )  =  ( x  .x.  y ) )
2519oveqd 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t z )  =  ( x  .x.  z ) )
2621, 24, 25oveq123d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t y ) p ( x t z ) )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( x  .x.  z ) ) )
2723, 26eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  <->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) ) )
2821oveqd 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
29 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  z  =  z )
3019, 28, 29oveq123d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x p y ) t z )  =  ( ( x 
.+  y )  .x.  z ) )
3119oveqd 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
y t z )  =  ( y  .x.  z ) )
3221, 25, 31oveq123d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t z ) p ( y t z ) )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
3330, 32eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) )  <->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
3427, 33anbi12d 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
3518, 34raleqbidv 3020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
3618, 35raleqbidv 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  n  =  .0.  )
3819, 37, 20oveq123d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
n t x )  =  (  .0.  .x.  x ) )
3938, 37eqeq12d 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( n t x )  =  n  <->  (  .0.  .x.  x )  =  .0.  ) )
4019, 20, 37oveq123d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t n )  =  ( x  .x.  .0.  ) )
4140, 37eqeq12d 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t n )  =  n  <->  ( x  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
4239, 41anbi12d 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( ( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n )  <->  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) )
4336, 42anbi12d 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4418, 43raleqbidv 3020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  ( A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4517, 44sbcied 3316 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  ( ( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4613, 45sbcied 3316 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  -> 
( [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
476, 9, 46sbc2ie 3347 . . . 4  |-  ( [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) )
483, 47anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) )  <->  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4948anbi2i 694 . 2  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  (
(mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )  <->  ( R  e. CMnd  /\  ( G  e. 
Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) ) )
50 fveq2 5851 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  R ) )
5150eleq1d 2473 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  <->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd ) )
52 fveq2 5851 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
5352, 4syl6eqr 2463 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
54 fveq2 5851 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  R
) )
5554, 7syl6eqr 2463 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  = 
.+  )
56 fveq2 5851 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
5756, 10syl6eqr 2463 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
58 fveq2 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
5958, 14syl6eqr 2463 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  .0.  )
6059sbceq1d 3284 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6157, 60sbceqbid 3286 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6255, 61sbceqbid 3286 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6353, 62sbceqbid 3286 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6451, 63anbi12d 711 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) )  <->  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\ 
[. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) ) )
65 df-srg 17480 . . 3  |- SRing  =  {
r  e. CMnd  |  (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r )  / 
b ]. [. ( +g  `  r )  /  p ]. [. ( .r `  r )  /  t ]. [. ( 0g `  r )  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) }
6664, 65elrab2 3211 . 2  |-  ( R  e. SRing 
<->  ( R  e. CMnd  /\  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) ) )
67 3anass 980 . 2  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) )  <->  ( R  e. CMnd  /\  ( G  e. 
Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) ) )
6849, 66, 673bitr4i 279 1  |-  ( R  e. SRing 
<->  ( R  e. CMnd  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   _Vcvv 3061   [.wsbc 3279   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   .rcmulr 14912   0gc0g 15056   Mndcmnd 16245  CMndccmn 17124  mulGrpcmgp 17463  SRingcsrg 17479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-nul 4527
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-iota 5535  df-fv 5579  df-ov 6283  df-srg 17480
This theorem is referenced by:  srgcmn  17482  srgmgp  17484  srgi  17485  srgrz  17499  srglz  17500  ringsrg  17559  nn0srg  18808  rge0srg  18809
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