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Theorem issrg 16609
Description: The predicate "is a semiring." (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
issrg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
issrg.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
issrg.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
issrg.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
issrg.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
issrg  |-  ( R  e. SRing 
<->  ( R  e. CMnd  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .+    x,  .0. , y,
z    x,  .x. , y, z   
x, B, y, z   
x, R, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)

Proof of Theorem issrg
Dummy variables  n  b  p  r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issrg.g . . . . . 6  |-  G  =  (mulGrp `  R )
21eleq1i 2506 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  <->  (mulGrp `  R
)  e.  Mnd )
32bicomi 202 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  <->  G  e.  Mnd )
4 issrg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
64, 5eqeltri 2513 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
7 issrg.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  R )
8 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  e.  _V
97, 8eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  .+  e.  _V
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  .+  e.  _V )
11 issrg.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .r `  R )
12 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  e. 
_V
1311, 12eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  .x.  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  ->  .x.  e.  _V )
15 issrg.0 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
16 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1715, 16eqeltri 2513 . . . . . . . . 9  |-  .0.  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  .0.  e.  _V )
19 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  b  =  B )
20 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  t  =  .x.  )
21 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  x  =  x )
22 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  p  =  .+  )
2322oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
y p z )  =  ( y  .+  z ) )
2420, 21, 23oveq123d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t ( y p z ) )  =  ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) )
2520oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t y )  =  ( x  .x.  y ) )
2620oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t z )  =  ( x  .x.  z ) )
2722, 25, 26oveq123d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t y ) p ( x t z ) )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( x  .x.  z ) ) )
2824, 27eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  <->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) ) )
2922oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
30 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  z  =  z )
3120, 29, 30oveq123d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x p y ) t z )  =  ( ( x 
.+  y )  .x.  z ) )
3220oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
y t z )  =  ( y  .x.  z ) )
3322, 26, 32oveq123d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t z ) p ( y t z ) )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
3431, 33eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) )  <->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
3528, 34anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
3619, 35raleqbidv 2931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
3719, 36raleqbidv 2931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  n  =  .0.  )
3920, 38, 21oveq123d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
n t x )  =  (  .0.  .x.  x ) )
4039, 38eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( n t x )  =  n  <->  (  .0.  .x.  x )  =  .0.  ) )
4120, 21, 38oveq123d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
x t n )  =  ( x  .x.  .0.  ) )
4241, 38eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( x t n )  =  n  <->  ( x  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
4340, 42anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( ( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n )  <->  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) )
4437, 43anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  (
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4519, 44raleqbidv 2931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  =  B  /\  p  = 
.+  )  /\  t  =  .x.  )  /\  n  =  .0.  )  ->  ( A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4618, 45sbcied 3223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  ( ( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4714, 46sbcied 3223 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  B  /\  p  =  .+  )  -> 
( [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
4810, 47sbcied 3223 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( [.  .+  /  p ]. [. 
.x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
496, 48sbcie 3221 . . . 4  |-  ( [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) )
503, 49anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) )  <->  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
5150anbi2i 694 . 2  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  (
(mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )  <->  ( R  e. CMnd  /\  ( G  e. 
Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) ) )
52 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  R ) )
5352eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  <->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd ) )
54 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
5554, 4syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
56 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  R
) )
5756, 7syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  = 
.+  )
58 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
5958, 11syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
60 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
6160, 15syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  .0.  )
62 biidd 237 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6361, 62sbceqbid 3193 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6459, 63sbceqbid 3193 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6557, 64sbceqbid 3193 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6655, 65sbceqbid 3193 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) )  <->  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) )
6753, 66anbi12d 710 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. [. ( 0g `  r
)  /  n ]. A. x  e.  b 
( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) )  <->  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\ 
[. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) ) )
68 df-srg 16608 . . 3  |- SRing  =  {
r  e. CMnd  |  (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r )  / 
b ]. [. ( +g  `  r )  /  p ]. [. ( .r `  r )  /  t ]. [. ( 0g `  r )  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) }
6967, 68elrab2 3119 . 2  |-  ( R  e. SRing 
<->  ( R  e. CMnd  /\  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  [. B  /  b ]. [.  .+  /  p ]. [.  .x.  /  t ]. [.  .0.  /  n ]. A. x  e.  b  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  /\  (
( n t x )  =  n  /\  ( x t n )  =  n ) ) ) ) )
70 3anass 969 . 2  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) )  <->  ( R  e. CMnd  /\  ( G  e. 
Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) ) )
7151, 69, 703bitr4i 277 1  |-  ( R  e. SRing 
<->  ( R  e. CMnd  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  /\  ( (  .0. 
.x.  x )  =  .0.  /\  ( x 
.x.  .0.  )  =  .0.  ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   [.wsbc 3186   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239   0gc0g 14378   Mndcmnd 15409  CMndccmn 16277  mulGrpcmgp 16591  SRingcsrg 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-iota 5381  df-fv 5426  df-ov 6094  df-srg 16608
This theorem is referenced by:  srgcmn  16610  srgmgp  16612  srgi  16613  srgrz  16627  srglz  16628  rngsrg  16683  nn0srg  17881  rge0srg  17882
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