MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issqf Structured version   Unicode version

Theorem issqf 23133
Description: Two ways to say that a number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
issqf  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  1
) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem issqf
StepHypRef Expression
1 isnsqf 23132 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =  0  <->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
21necon3abid 2708 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  -.  E. p  e.  Prime  (
p ^ 2 ) 
||  A ) )
3 ralnex 2905 . . 3  |-  ( A. p  e.  Prime  -.  (
p ^ 2 ) 
||  A  <->  -.  E. p  e.  Prime  ( p ^
2 )  ||  A
)
4 1nn0 10802 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
5 pccl 14223 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  NN0 )
65ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
7 nn0ltp1le 10911 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( p  pCnt  A )  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( p  pCnt  A ) ) )
84, 6, 7sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( p  pCnt  A ) ) )
9 1re 9586 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
106nn0red 10844 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  RR )
11 ltnle 9655 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
13 df-2 10585 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1413breq1i 4449 . . . . . . 7  |-  ( 2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  (
p  pCnt  A )
)
15 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
16 nnz 10877 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
17 2nn0 10803 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
18 pcdvdsb 14242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
1917, 18mp3an3 1308 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
2015, 16, 19syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 2  <_  (
p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
2114, 20syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 1  +  1 )  <_  (
p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
228, 12, 213bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  ( p 
pCnt  A )  <_  1  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
2322con1bid 330 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  ( p ^ 2 )  ||  A 
<->  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
2423ralbidva 2895 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  -.  ( p ^ 2 )  ||  A  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  1 ) )
253, 24syl5bbr 259 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( -.  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  A  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  1 ) )
262, 25bitrd 253 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  1
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ^cexp 12124    || cdivides 13838   Primecprime 14067    pCnt cpc 14210   mmucmu 23091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-dvds 13839  df-gcd 13995  df-prm 14068  df-pc 14211  df-mu 23097
This theorem is referenced by:  sqfpc  23134  mumullem2  23177  sqff1o  23179
  Copyright terms: Public domain W3C validator