MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issqf Structured version   Unicode version

Theorem issqf 23789
Description: Two ways to say that a number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
issqf  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  1
) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem issqf
StepHypRef Expression
1 isnsqf 23788 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =  0  <->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
21necon3abid 2649 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  -.  E. p  e.  Prime  (
p ^ 2 ) 
||  A ) )
3 ralnex 2849 . . 3  |-  ( A. p  e.  Prime  -.  (
p ^ 2 ) 
||  A  <->  -.  E. p  e.  Prime  ( p ^
2 )  ||  A
)
4 1nn0 10851 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
5 pccl 14580 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  NN0 )
65ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
7 nn0ltp1le 10961 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( p  pCnt  A )  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( p  pCnt  A ) ) )
84, 6, 7sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( p  pCnt  A ) ) )
9 1re 9624 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
106nn0red 10893 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  RR )
11 ltnle 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
129, 10, 11sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
13 df-2 10634 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1413breq1i 4401 . . . . . . 7  |-  ( 2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  (
p  pCnt  A )
)
15 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
16 nnz 10926 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
17 2nn0 10852 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
18 pcdvdsb 14599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
1917, 18mp3an3 1315 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
2015, 16, 19syl2anr 476 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 2  <_  (
p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
2114, 20syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 1  +  1 )  <_  (
p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
228, 12, 213bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  ( p 
pCnt  A )  <_  1  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
2322con1bid 328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  ( p ^ 2 )  ||  A 
<->  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
2423ralbidva 2839 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  -.  ( p ^ 2 )  ||  A  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  1 ) )
253, 24syl5bbr 259 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( -.  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  A  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  1 ) )
262, 25bitrd 253 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  1
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    < clt 9657    <_ cle 9658   NNcn 10575   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ^cexp 12208    || cdvds 14193   Primecprime 14424    pCnt cpc 14567   mmucmu 23747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425  df-pc 14568  df-mu 23753
This theorem is referenced by:  sqfpc  23790  mumullem2  23833  sqff1o  23835
  Copyright terms: Public domain W3C validator