Theorem issmo 16443

Description: Conditions for which A is a strictly monotone ordinal function.

Hypotheses

Ref	Expression
issmo.1	|- A:B-->On
issmo.2	|- Ord B
issmo.3	|- ((x e. B /\ y e. B) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y)))
issmo.4	|- dom A = B

Assertion

Ref	Expression
issmo	|- Smo A

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem issmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-smo 16442	. 2 |- (Smo A <-> (A:dom A-->On /\ Ord dom A /\ A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y))))
2		issmo.1	. . 3 |- A:B-->On
3		issmo.4	. . . 4 |- dom A = B
4	3	feq2i 4559	. . 3 |- (A:dom A-->On <-> A:B-->On)
5	2, 4	mpbir 207	. 2 |- A:dom A-->On
6		issmo.2	. . 3 |- Ord B
7		ordeq 3664	. . . 4 |- (dom A = B -> (Ord dom A <-> Ord B))
8	3, 7	ax-mp 7	. . 3 |- (Ord dom A <-> Ord B)
9	6, 8	mpbir 207	. 2 |- Ord dom A
10		issmo.3	. . . 4 |- ((x e. B /\ y e. B) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y)))
11	3	eleq2i 1961	. . . 4 |- (x e. dom A <-> x e. B)
12	3	eleq2i 1961	. . . 4 |- (y e. dom A <-> y e. B)
13	10, 11, 12	syl2anb 504	. . 3 |- ((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y)))
14	13	rgen2a 2160	. 2 |- A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y))
15	1, 5, 9, 14	mpbir3an 1052	1 |- Smo A

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  Ord word 3656  Oncon0 3657  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  Smo csmo 16441

This theorem is referenced by:  iordsmo 16448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-in 2603  df-ss 2605  df-uni 3178  df-tr 3412  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-fn 4009  df-f 4010  df-smo 16442

Copyright terms: Public domain