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Theorem issiga 26685
Description: An alternative definition of the sigma-algebra, for a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
issiga  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, S

Proof of Theorem issiga
Dummy variables  o 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5813 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
2 elex 3074 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  S  e.  _V )
31, 2jca 532 . . 3  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
)
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ( O  e.  _V  /\  S  e. 
_V ) ) )
5 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  S )
6 elex 3074 . . . . 5  |-  ( O  e.  S  ->  O  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  _V )
87a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  ->  O  e.  _V )
)
98anc2ri 558 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
) )
10 df-siga 26682 . . . 4  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
11 sigaex 26683 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
12 pweq 3958 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1312sseq2d 3479 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
14 sseq1 3472 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  ~P O  <->  S 
C_  ~P O ) )
1513, 14sylan9bb 699 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( s  C_  ~P o 
<->  S  C_  ~P O
) )
16 eleq12 2525 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  e.  s  <-> 
O  e.  S ) )
17 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
18 difeq1 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  \  x
)  =  ( O 
\  x ) )
2019eleq1d 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  s ) )
21 eleq2 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( O  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  S
) )
2221adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( O  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2320, 22bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2417, 23raleqbidv 3024 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  <->  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S ) )
25 pweq 3958 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
26 eleq2 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( U. x  e.  s  <->  U. x  e.  S ) )
2726imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <-> 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
2825, 27raleqbidv 3024 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
3016, 24, 293anbi123d 1290 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
3115, 30anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3210, 11, 31abfmpel 26101 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3332a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) ) )
344, 9, 33pm5.21ndd 354 1  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   _Vcvv 3065    \ cdif 3420    C_ wss 3423   ~Pcpw 3955   U.cuni 4186   class class class wbr 4387   ` cfv 5513   omcom 6573    ~<_ cdom 7405  sigAlgebracsiga 26681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fv 5521  df-siga 26682
This theorem is referenced by:  baselsiga  26689  sigasspw  26690  issgon  26697  isrnsigau  26701  dmvlsiga  26703  pwsiga  26704  prsiga  26705  sigainb  26710  insiga  26711  imambfm  26808
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