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Theorem issiga 28929
Description: An alternative definition of the sigma-algebra, for a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
issiga  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, S

Proof of Theorem issiga
Dummy variables  o 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5905 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
2 elex 3090 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  S  e.  _V )
31, 2jca 534 . . 3  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
)
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ( O  e.  _V  /\  S  e. 
_V ) ) )
5 simpr1 1011 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  S )
6 elex 3090 . . . . 5  |-  ( O  e.  S  ->  O  e.  _V )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  _V )
87a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  ->  O  e.  _V )
)
98anc2ri 560 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
) )
10 df-siga 28926 . . . 4  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
11 sigaex 28927 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
12 pweq 3982 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1312sseq2d 3492 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
14 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  ~P O  <->  S 
C_  ~P O ) )
1513, 14sylan9bb 704 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( s  C_  ~P o 
<->  S  C_  ~P O
) )
16 eleq12 2498 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  e.  s  <-> 
O  e.  S ) )
17 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
18 difeq1 3576 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1918adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  \  x
)  =  ( O 
\  x ) )
2019eleq1d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  s ) )
21 eleq2 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( O  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  S
) )
2221adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( O  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2320, 22bitrd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2417, 23raleqbidv 3039 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  <->  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S ) )
25 pweq 3982 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
26 eleq2 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( U. x  e.  s  <->  U. x  e.  S ) )
2726imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <-> 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
2825, 27raleqbidv 3039 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )
2928adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
3016, 24, 293anbi123d 1335 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
3115, 30anbi12d 715 . . . 4  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3210, 11, 31abfmpel 28244 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3332a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) ) )
344, 9, 33pm5.21ndd 355 1  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   ` cfv 5598   omcom 6703    ~<_ cdom 7572  sigAlgebracsiga 28925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fv 5606  df-siga 28926
This theorem is referenced by:  baselsiga  28933  sigasspw  28934  issgon  28941  isrnsigau  28945  dmvlsiga  28947  pwsiga  28948  prsiga  28949  sigainb  28954  insiga  28955  sigapildsys  28980  imambfm  29080  carsgsiga  29150
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