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Theorem issiga 27601
Description: An alternative definition of the sigma-algebra, for a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
issiga  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, S

Proof of Theorem issiga
Dummy variables  o 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5884 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
2 elex 3115 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  S  e.  _V )
31, 2jca 532 . . 3  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
)
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ( O  e.  _V  /\  S  e. 
_V ) ) )
5 simpr1 997 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  S )
6 elex 3115 . . . . 5  |-  ( O  e.  S  ->  O  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  _V )
87a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  ->  O  e.  _V )
)
98anc2ri 558 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
) )
10 df-siga 27598 . . . 4  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
11 sigaex 27599 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
12 pweq 4006 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1312sseq2d 3525 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
14 sseq1 3518 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  ~P O  <->  S 
C_  ~P O ) )
1513, 14sylan9bb 699 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( s  C_  ~P o 
<->  S  C_  ~P O
) )
16 eleq12 2536 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  e.  s  <-> 
O  e.  S ) )
17 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
18 difeq1 3608 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  \  x
)  =  ( O 
\  x ) )
2019eleq1d 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  s ) )
21 eleq2 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( O  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  S
) )
2221adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( O  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2320, 22bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2417, 23raleqbidv 3065 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  <->  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S ) )
25 pweq 4006 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
26 eleq2 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( U. x  e.  s  <->  U. x  e.  S ) )
2726imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <-> 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
2825, 27raleqbidv 3065 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
3016, 24, 293anbi123d 1294 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
3115, 30anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3210, 11, 31abfmpel 27015 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3332a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) ) )
344, 9, 33pm5.21ndd 354 1  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   omcom 6671    ~<_ cdom 7504  sigAlgebracsiga 27597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-siga 27598
This theorem is referenced by:  baselsiga  27605  sigasspw  27606  issgon  27613  isrnsigau  27617  dmvlsiga  27619  pwsiga  27620  prsiga  27621  sigainb  27626  insiga  27627  imambfm  27723
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