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Theorem issiga 28559
Description: An alternative definition of the sigma-algebra, for a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
issiga  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, S

Proof of Theorem issiga
Dummy variables  o 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5876 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
2 elex 3068 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  S  e.  _V )
31, 2jca 530 . . 3  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
)
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ( O  e.  _V  /\  S  e. 
_V ) ) )
5 simpr1 1003 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  S )
6 elex 3068 . . . . 5  |-  ( O  e.  S  ->  O  e.  _V )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  _V )
87a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  ->  O  e.  _V )
)
98anc2ri 556 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
) )
10 df-siga 28556 . . . 4  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
11 sigaex 28557 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
12 pweq 3958 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1312sseq2d 3470 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
14 sseq1 3463 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  ~P O  <->  S 
C_  ~P O ) )
1513, 14sylan9bb 698 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( s  C_  ~P o 
<->  S  C_  ~P O
) )
16 eleq12 2478 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  e.  s  <-> 
O  e.  S ) )
17 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
18 difeq1 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1918adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  \  x
)  =  ( O 
\  x ) )
2019eleq1d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  s ) )
21 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( O  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  S
) )
2221adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( O  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2320, 22bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2417, 23raleqbidv 3018 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  <->  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S ) )
25 pweq 3958 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
26 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( U. x  e.  s  <->  U. x  e.  S ) )
2726imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <-> 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
2825, 27raleqbidv 3018 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )
2928adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
3016, 24, 293anbi123d 1301 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
3115, 30anbi12d 709 . . . 4  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3210, 11, 31abfmpel 27936 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3332a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) ) )
344, 9, 33pm5.21ndd 352 1  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   ` cfv 5569   omcom 6683    ~<_ cdom 7552  sigAlgebracsiga 28555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-siga 28556
This theorem is referenced by:  baselsiga  28563  sigasspw  28564  issgon  28571  isrnsigau  28575  dmvlsiga  28577  pwsiga  28578  prsiga  28579  sigainb  28584  insiga  28585  sigapildsys  28610  imambfm  28710  carsgsiga  28770
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