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Theorem issal 38287
Description: Express the predicate " S is a sigma-algebra." (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
issal  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e. SAlg  <->  ( (/)  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y
)  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) ) )
Distinct variable group:    y, S
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem issal
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2538 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  S
) )
2 raleq 2973 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  x  ( U. x  \  y
)  e.  x  <->  A. y  e.  S  ( U. x  \  y )  e.  x ) )
3 unieq 4198 . . . . . . 7  |-  ( x  =  S  ->  U. x  =  U. S )
43difeq1d 3539 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  ( U. x  \  y
)  =  ( U. S  \  y ) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  x  =  S )
64, 5eleq12d 2543 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( U. x  \ 
y )  e.  x  <->  ( U. S  \  y
)  e.  S ) )
76ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  S  ( U. x  \  y
)  e.  x  <->  A. y  e.  S  ( U. S  \  y )  e.  S ) )
82, 7bitrd 261 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  x  ( U. x  \  y
)  e.  x  <->  A. y  e.  S  ( U. S  \  y )  e.  S ) )
9 pweq 3945 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  ~P x  =  ~P S
)
109raleqdv 2979 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  x
)  <->  A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  x
) ) )
11 eleq2 2538 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  ( U. y  e.  x  <->  U. y  e.  S ) )
1211imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  x )  <-> 
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) )
1312ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  x
)  <->  A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  S
) ) )
1410, 13bitrd 261 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  x
)  <->  A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  S
) ) )
151, 8, 143anbi123d 1365 . 2  |-  ( x  =  S  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( U. x  \  y
)  e.  x  /\  A. y  e.  ~P  x
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  x ) )  <->  ( (/)  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y
)  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) ) )
16 df-salg 38282 . 2  |- SAlg  =  {
x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( U. x  \  y )  e.  x  /\  A. y  e.  ~P  x ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  x ) ) }
1715, 16elab2g 3175 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e. SAlg  <->  ( (/)  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y
)  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    \ cdif 3387   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   omcom 6711    ~<_ cdom 7585  SAlgcsalg 38281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-in 3397  df-ss 3404  df-pw 3944  df-uni 4191  df-salg 38282
This theorem is referenced by:  pwsal  38288  salunicl  38289  saluncl  38290  prsal  38291  saldifcl  38292  0sal  38293  intsal  38301  issald  38304  caragensal  38465
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