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Theorem isrnsigaOLD 26577
Description: The property of being a sigma algebra on an indefinite base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isrnsigaOLD  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, o, S

Proof of Theorem isrnsigaOLD
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-siga 26573 . . 3  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2 df-rab 2745 . . . . 5  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
3 vex 2996 . . . . . . . 8  |-  s  e. 
_V
4 elpwg 3889 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ~P ~P o 
<->  s  C_  ~P o
) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P ~P o  <->  s 
C_  ~P o )
65anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
76abbii 2561 . . . . 5  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
82, 7eqtr2i 2464 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  e.  ~P ~P o  |  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }
9 grothpwex 9015 . . . . . 6  |-  ~P o  e.  _V
109pwex 4496 . . . . 5  |-  ~P ~P o  e.  _V
1110rabex 4464 . . . 4  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V
128, 11eqeltri 2513 . . 3  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
13 sseq1 3398 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  ~P o  <->  S 
C_  ~P o ) )
14 eleq2 2504 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
o  e.  s  <->  o  e.  S ) )
15 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( o  \  x
)  e.  s  <->  ( o  \  x )  e.  S
) )
1615raleqbi1dv 2946 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  s 
( o  \  x
)  e.  s  <->  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S
) )
17 pweq 3884 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
18 biidd 237 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
x  ~<_  om  <->  x  ~<_  om )
)
19 eleq2 2504 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( U. x  e.  s  <->  U. x  e.  S ) )
2018, 19imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <-> 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
2117, 20raleqbidv 2952 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )
2214, 16, 213anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
2313, 22anbi12d 710 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
241, 12, 23abfmpunirn 25989 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o  e.  _V  ( S  C_  ~P o  /\  (
o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
25 rexv 3008 . . 3  |-  ( E. o  e.  _V  ( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  <->  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
2625anbi2i 694 . 2  |-  ( ( S  e.  _V  /\  E. o  e.  _V  ( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
2724, 26bitri 249 1  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   ran crn 4862   omcom 6497    ~<_ cdom 7329  sigAlgebracsiga 26572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-groth 9011
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-fv 5447  df-siga 26573
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