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Theorem isrnsigaOLD 28560
Description: The property of being a sigma algebra on an indefinite base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isrnsigaOLD  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, o, S

Proof of Theorem isrnsigaOLD
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-siga 28556 . . 3  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
2 df-rab 2763 . . . . 5  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  e.  ~P ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
3 vex 3062 . . . . . . . 8  |-  s  e. 
_V
4 elpwg 3963 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ~P ~P o 
<->  s  C_  ~P o
) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P ~P o  <->  s 
C_  ~P o )
65anbi1i 693 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
76abbii 2536 . . . . 5  |-  { s  |  ( s  e. 
~P ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }
82, 7eqtr2i 2432 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  =  { s  e.  ~P ~P o  |  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }
9 grothpwex 9235 . . . . . 6  |-  ~P o  e.  _V
109pwex 4577 . . . . 5  |-  ~P ~P o  e.  _V
1110rabex 4545 . . . 4  |-  { s  e.  ~P ~P o  |  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) }  e.  _V
128, 11eqeltri 2486 . . 3  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
13 sseq1 3463 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  ~P o  <->  S 
C_  ~P o ) )
14 eleq2 2475 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
o  e.  s  <->  o  e.  S ) )
15 eleq2 2475 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( o  \  x
)  e.  s  <->  ( o  \  x )  e.  S
) )
1615raleqbi1dv 3012 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  s 
( o  \  x
)  e.  s  <->  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S
) )
17 pweq 3958 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
18 biidd 237 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
x  ~<_  om  <->  x  ~<_  om )
)
19 eleq2 2475 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( U. x  e.  s  <->  U. x  e.  S ) )
2018, 19imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <-> 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
2117, 20raleqbidv 3018 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )
2214, 16, 213anbi123d 1301 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
2313, 22anbi12d 709 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  C_  ~P o  /\  ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <-> 
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
241, 12, 23abfmpunirn 27933 . 2  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o  e.  _V  ( S  C_  ~P o  /\  (
o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
25 rexv 3074 . . 3  |-  ( E. o  e.  _V  ( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  <->  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
2625anbi2i 692 . 2  |-  ( ( S  e.  _V  /\  E. o  e.  _V  ( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
2724, 26bitri 249 1  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  <->  ( S  e.  _V  /\  E. o
( S  C_  ~P o  /\  ( o  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( o  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   ran crn 4824   omcom 6683    ~<_ cdom 7552  sigAlgebracsiga 28555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-groth 9231
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-fv 5577  df-siga 28556
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