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Theorem isrnmeas 27839
Description: The property of being a measure on an undefined base sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isrnmeas  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, M

Proof of Theorem isrnmeas
Dummy variables  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-meas 27835 . . . 4  |- measures  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) } )
2 vex 3116 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
3 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
4 mapex 7426 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  _V  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . 5  |-  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }  e.  _V
6 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) )  ->  m : s --> ( 0 [,] +oo ) )
76ss2abi 3572 . . . . 5  |-  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) }  C_  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }
85, 7ssexi 4592 . . . 4  |-  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) }  e.  _V
9 feq1 5713 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
m : s --> ( 0 [,] +oo )  <->  M : s --> ( 0 [,] +oo ) ) )
10 fveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  (/) )  =  ( M `  (/) ) )
1110eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( m `  (/) )  =  0  <->  ( M `  (/) )  =  0 ) )
12 fveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  U. x )  =  ( M `  U. x ) )
13 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  y )  =  ( M `  y ) )
1413esumeq2sdv 27720 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  -> Σ* y  e.  x
( m `  y
)  = Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
1512, 14eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y )  <->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `
 y ) ) )
1615imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `
 y ) )  <-> 
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `
 y ) ) ) )
1716ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) )  <->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
189, 11, 173anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) )  <->  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
191, 8, 18abfmpunirn 27190 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  <->  ( M  e.  _V  /\  E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M :
s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
2019simprbi 464 . 2  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M :
s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
21 fdm 5735 . . . . . . 7  |-  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  M  =  s )
22213ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  dom  M  =  s )
2322adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  dom  M  =  s )
24 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  s  e.  U.
ran sigAlgebra )
2523, 24eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  dom  M  e. 
U. ran sigAlgebra )
26 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  M : s --> ( 0 [,] +oo ) )
27 feq2 5714 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
M  =  s  -> 
( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  M : s --> ( 0 [,] +oo )
) )
2827biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  M  =  s  /\  M : s --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
2922, 26, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
30 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
31 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
32 pweq 4013 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
M  =  s  ->  ~P dom  M  =  ~P s )
3332raleqdv 3064 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
M  =  s  -> 
( A. x  e. 
~P  dom  M (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) )  <->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3433biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  M  =  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
3522, 31, 34syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
3629, 30, 353jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3736adantl 466 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3825, 37jca 532 . . 3  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
3938rexlimiva 2951 . 2  |-  ( E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
4020, 39syl 16 1  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   omcom 6684    ~<_ cdom 7514   0cc0 9492   +oocpnf 9625   [,]cicc 11532  Σ*cesum 27708  sigAlgebracsiga 27775  measurescmeas 27834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-esum 27709  df-meas 27835
This theorem is referenced by:  dmmeas  27840  measbasedom  27841
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