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Theorem isrnmeas 28861
Description: The property of being a measure on an undefined base sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isrnmeas  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, M

Proof of Theorem isrnmeas
Dummy variables  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-meas 28857 . . . 4  |- measures  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) } )
2 vex 3090 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
3 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
4 mapex 7486 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  _V  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 676 . . . . 5  |-  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }  e.  _V
6 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) )  ->  m : s --> ( 0 [,] +oo ) )
76ss2abi 3539 . . . . 5  |-  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) }  C_  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }
85, 7ssexi 4570 . . . 4  |-  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) }  e.  _V
9 feq1 5728 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
m : s --> ( 0 [,] +oo )  <->  M : s --> ( 0 [,] +oo ) ) )
10 fveq1 5880 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  (/) )  =  ( M `  (/) ) )
1110eqeq1d 2431 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( m `  (/) )  =  0  <->  ( M `  (/) )  =  0 ) )
12 fveq1 5880 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  U. x )  =  ( M `  U. x ) )
13 fveq1 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  y )  =  ( M `  y ) )
1413esumeq2sdv 28699 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  -> Σ* y  e.  x
( m `  y
)  = Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
1512, 14eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y )  <->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `
 y ) ) )
1615imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `
 y ) )  <-> 
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `
 y ) ) ) )
1716ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) )  <->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
189, 11, 173anbi123d 1335 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) )  <->  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
191, 8, 18abfmpunirn 28091 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  <->  ( M  e.  _V  /\  E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M :
s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
2019simprbi 465 . 2  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M :
s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
21 fdm 5750 . . . . . . 7  |-  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  M  =  s )
22213ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  dom  M  =  s )
2322adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  dom  M  =  s )
24 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  s  e.  U.
ran sigAlgebra )
2523, 24eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  dom  M  e. 
U. ran sigAlgebra )
26 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  M : s --> ( 0 [,] +oo ) )
27 feq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
M  =  s  -> 
( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  M : s --> ( 0 [,] +oo )
) )
2827biimpar 487 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  M  =  s  /\  M : s --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
2922, 26, 28syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
30 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
31 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
32 pweq 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
M  =  s  ->  ~P dom  M  =  ~P s )
3332raleqdv 3038 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
M  =  s  -> 
( A. x  e. 
~P  dom  M (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) )  <->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3433biimpar 487 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  M  =  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
3522, 31, 34syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
3629, 30, 353jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3736adantl 467 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3825, 37jca 534 . . 3  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
3938rexlimiva 2920 . 2  |-  ( E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
4020, 39syl 17 1  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222  Disj wdisj 4397   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ran crn 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706    ~<_ cdom 7575   0cc0 9538   +oocpnf 9671   [,]cicc 11638  Σ*cesum 28687  sigAlgebracsiga 28768  measurescmeas 28856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-esum 28688  df-meas 28857
This theorem is referenced by:  dmmeas  28862  measbasedom  28863
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