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Theorem isrnmeas 29096
Description: The property of being a measure on an undefined base sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isrnmeas  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, M

Proof of Theorem isrnmeas
Dummy variables  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-meas 29092 . . . 4  |- measures  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) } )
2 vex 3034 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
3 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
4 mapex 7496 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  _V  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 686 . . . . 5  |-  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }  e.  _V
6 simp1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) )  ->  m : s --> ( 0 [,] +oo ) )
76ss2abi 3487 . . . . 5  |-  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) }  C_  { m  |  m : s --> ( 0 [,] +oo ) }
85, 7ssexi 4541 . . . 4  |-  { m  |  ( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
m `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) ) }  e.  _V
9 feq1 5720 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
m : s --> ( 0 [,] +oo )  <->  M : s --> ( 0 [,] +oo ) ) )
10 fveq1 5878 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  (/) )  =  ( M `  (/) ) )
1110eqeq1d 2473 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( m `  (/) )  =  0  <->  ( M `  (/) )  =  0 ) )
12 fveq1 5878 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  U. x )  =  ( M `  U. x ) )
13 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
m `  y )  =  ( M `  y ) )
1413esumeq2sdv 28934 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  -> Σ* y  e.  x
( m `  y
)  = Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
1512, 14eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y )  <->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `
 y ) ) )
1615imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `
 y ) )  <-> 
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `
 y ) ) ) )
1716ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) )  <->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
189, 11, 173anbi123d 1365 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( m : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( m `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
m `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( m `  y ) ) )  <->  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
191, 8, 18abfmpunirn 28327 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  <->  ( M  e.  _V  /\  E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M :
s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
2019simprbi 471 . 2  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M :
s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
21 fdm 5745 . . . . . . 7  |-  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  M  =  s )
22213ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  dom  M  =  s )
2322adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  dom  M  =  s )
24 simpl 464 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  s  e.  U.
ran sigAlgebra )
2523, 24eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  dom  M  e. 
U. ran sigAlgebra )
26 simp1 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  M : s --> ( 0 [,] +oo ) )
27 feq2 5721 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
M  =  s  -> 
( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  M : s --> ( 0 [,] +oo )
) )
2827biimpar 493 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  M  =  s  /\  M : s --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
2922, 26, 28syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
30 simp2 1031 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
31 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
32 pweq 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
M  =  s  ->  ~P dom  M  =  ~P s )
3332raleqdv 2979 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
M  =  s  -> 
( A. x  e. 
~P  dom  M (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) )  <->  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3433biimpar 493 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  M  =  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
3522, 31, 34syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )
3629, 30, 353jca 1210 . . . . 5  |-  ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3736adantl 473 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )
3825, 37jca 541 . . 3  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) )  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
3938rexlimiva 2868 . 2  |-  ( E. s  e.  U. ran sigAlgebra ( M : s --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) )  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
4020, 39syl 17 1  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  (/) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( M `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   0cc0 9557   +oocpnf 9690   [,]cicc 11663  Σ*cesum 28922  sigAlgebracsiga 29003  measurescmeas 29091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-esum 28923  df-meas 29092
This theorem is referenced by:  dmmeas  29097  measbasedom  29098
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