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Theorem isrngod 25246
Description: Conditions that determine a ring. (Changed label from isringd 17101 to isrngod 25246-NM 2-Aug-2013.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isringod.1  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
isringod.2  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
isringod.3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
isringod.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
isringod.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
isringod.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
isringod.7  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
isringod.8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
isringod.9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
Assertion
Ref Expression
isrngod  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, G, y, z    x, H, y, z    x, X, y, z    x, U, y
Allowed substitution hint:    U( z)

Proof of Theorem isrngod
StepHypRef Expression
1 isringod.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
2 isringod.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
3 isringod.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
43sqxpeqd 5011 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( ran 
G  X.  ran  G
) )
54, 3feq23d 5712 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( X  X.  X ) --> X  <->  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
)
62, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
7 isringod.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
8 isringod.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
9 isringod.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
107, 8, 93jca 1175 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
1110ralrimivvva 2863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
123raleqdv 3044 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
133, 12raleqbidv 3052 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
143, 13raleqbidv 3052 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
1511, 14mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
16 isringod.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
17 isringod.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
18 isringod.9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
1917, 18jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )
2019ralrimiva 2855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )
21 oveq1 6284 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U  ->  (
x H y )  =  ( U H y ) )
2221eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U  ->  (
( x H y )  =  y  <->  ( U H y )  =  y ) )
23 oveq2 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U  ->  (
y H x )  =  ( y H U ) )
2423eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U  ->  (
( y H x )  =  y  <->  ( y H U )  =  y ) )
2522, 24anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) ) )
2625ralbidv 2880 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) ) )
2726rspcev 3194 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  X  /\  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) )
2816, 20, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )
293raleqdv 3044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
303, 29rexeqbidv 3053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
3128, 30mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )
3215, 31jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) )
331, 6, 32jca31 534 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) )
34 rnexg 6713 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ran  G  e.  _V )
351, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
36 xpexg 6583 . . . . 5  |-  ( ( ran  G  e.  _V  /\ 
ran  G  e.  _V )  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  e. 
_V )
3735, 35, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  e.  _V )
38 fex 6126 . . . 4  |-  ( ( H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G  /\  ( ran  G  X.  ran  G )  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
396, 37, 38syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
40 eqid 2441 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
4140isrngo 25245 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
4239, 41syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
<->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
4333, 42mpbird 232 1  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   <.cop 4016    X. cxp 4983   ran crn 4986   -->wf 5570  (class class class)co 6277   AbelOpcablo 25148   RingOpscrngo 25242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-rngo 25243
This theorem is referenced by:  rngosn  25271  iscringd  30364
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