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Theorem isrngod 25579
Description: Conditions that determine a ring. (Changed label from isringd 17428 to isrngod 25579-NM 2-Aug-2013.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isringod.1  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
isringod.2  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
isringod.3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
isringod.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
isringod.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
isringod.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
isringod.7  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
isringod.8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
isringod.9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
Assertion
Ref Expression
isrngod  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, G, y, z    x, H, y, z    x, X, y, z    x, U, y
Allowed substitution hint:    U( z)

Proof of Theorem isrngod
StepHypRef Expression
1 isringod.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
2 isringod.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
3 isringod.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
43sqxpeqd 5014 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( ran 
G  X.  ran  G
) )
54, 3feq23d 5708 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( X  X.  X ) --> X  <->  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
)
62, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
7 isringod.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
8 isringod.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
9 isringod.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
107, 8, 93jca 1174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
1110ralrimivvva 2876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
123raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
133, 12raleqbidv 3065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
143, 13raleqbidv 3065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
1511, 14mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
16 isringod.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
17 isringod.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
18 isringod.9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
1917, 18jca 530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )
2019ralrimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )
21 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U  ->  (
x H y )  =  ( U H y ) )
2221eqeq1d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U  ->  (
( x H y )  =  y  <->  ( U H y )  =  y ) )
23 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U  ->  (
y H x )  =  ( y H U ) )
2423eqeq1d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U  ->  (
( y H x )  =  y  <->  ( y H U )  =  y ) )
2522, 24anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) ) )
2625ralbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) ) )
2726rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  X  /\  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) )
2816, 20, 27syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )
293raleqdv 3057 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
303, 29rexeqbidv 3066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
3128, 30mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )
3215, 31jca 530 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) )
331, 6, 32jca31 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) )
34 rnexg 6705 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ran  G  e.  _V )
351, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
36 xpexg 6575 . . . . 5  |-  ( ( ran  G  e.  _V  /\ 
ran  G  e.  _V )  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  e. 
_V )
3735, 35, 36syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  e.  _V )
38 fex 6120 . . . 4  |-  ( ( H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G  /\  ( ran  G  X.  ran  G )  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
396, 37, 38syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
40 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
4140isrngo 25578 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
4239, 41syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
<->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
4333, 42mpbird 232 1  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   <.cop 4022    X. cxp 4986   ran crn 4989   -->wf 5566  (class class class)co 6270   AbelOpcablo 25481   RingOpscrngo 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-rngo 25576
This theorem is referenced by:  rngosn  25604  iscringd  30636
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