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Theorem isrngo 23863
Description: The predicate "is a (unital) ring." Definition of ring with unit in [Schechter] p. 187. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isring.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isrngo  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, H, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isrngo
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4291 . . . 4  |-  ( G
RingOps H  <->  <. G ,  H >.  e.  RingOps )
2 relrngo 23862 . . . . 5  |-  Rel  RingOps
32brrelexi 4877 . . . 4  |-  ( G
RingOps H  ->  G  e.  _V )
41, 3sylbir 213 . . 3  |-  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
->  G  e.  _V )
54a1i 11 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
->  G  e.  _V ) )
6 elex 2979 . . . 4  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  _V )
76ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  _V )
87a1i 11 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  (
( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  _V ) )
9 df-rngo 23861 . . . . 5  |-  RingOps  =  { <. g ,  h >.  |  ( ( g  e. 
AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) ) }
109eleq2i 2505 . . . 4  |-  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  <. G ,  H >.  e. 
{ <. g ,  h >.  |  ( ( g  e.  AbelOp  /\  h :
( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) ) } )
11 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  g  =  G )
1211eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( g  e.  AbelOp  <->  G  e.  AbelOp ) )
13 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  h  =  H )
1411rneqd 5065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ran  g  =  ran  G )
15 isring.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
1614, 15syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ran  g  =  X )
1716, 16xpeq12d 4863 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ran  g  X. 
ran  g )  =  ( X  X.  X
) )
1813, 17, 16feq123d 5547 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g  <->  H : ( X  X.  X ) --> X ) )
1912, 18anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( g  e. 
AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X ) ) )
2013oveqd 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h y )  =  ( x H y ) )
21 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  z  =  z )
2213, 20, 21oveq123d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y ) h z )  =  ( ( x H y ) H z ) )
23 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  x  =  x )
2413oveqd 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y h z )  =  ( y H z ) )
2513, 23, 24oveq123d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h ( y h z ) )  =  ( x H ( y H z ) ) )
2622, 25eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  <-> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) ) )
2711oveqd 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y g z )  =  ( y G z ) )
2813, 23, 27oveq123d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h ( y g z ) )  =  ( x H ( y G z ) ) )
2913oveqd 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h z )  =  ( x H z ) )
3011, 20, 29oveq123d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
3128, 30eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  <-> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) ) )
3211oveqd 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3313, 32, 21oveq123d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x G y ) H z ) )
3411, 29, 24oveq123d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h z ) g ( y h z ) )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
3533, 34eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) )  <-> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
3626, 31, 353anbi123d 1289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
3716, 36raleqbidv 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. z  e. 
ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
3816, 37raleqbidv 2929 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. y  e. 
ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
3916, 38raleqbidv 2929 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
4020eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y )  =  y  <-> 
( x H y )  =  y ) )
4113oveqd 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y h x )  =  ( y H x ) )
4241eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( y h x )  =  y  <-> 
( y H x )  =  y ) )
4340, 42anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y )  <->  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4416, 43raleqbidv 2929 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. y  e. 
ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4516, 44rexeqbidv 2930 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4639, 45anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y ) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) )
4719, 46anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( g  e.  AbelOp  /\  h :
( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) )  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
4847opelopabga 4600 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  H  e.  A )  ->  ( <. G ,  H >.  e.  { <. g ,  h >.  |  (
( g  e.  AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g
) --> ran  g )  /\  ( A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y ) ) ) }  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
4910, 48syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  H  e.  A )  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
<->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
5049expcom 435 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  ( G  e.  _V  ->  (
<. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) ) )
515, 8, 50pm5.21ndd 354 1  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   <.cop 3881   class class class wbr 4290   {copab 4347    X. cxp 4836   ran crn 4839   -->wf 5412  (class class class)co 6089   AbelOpcablo 23766   RingOpscrngo 23860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-rngo 23861
This theorem is referenced by:  isrngod  23864  rngoi  23865  cnrngo  23888
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