Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrngim Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isrngim 40008
Description: An isomorphism of non-unital rings is a bijective homomorphism. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmf1o.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rnghmf1o.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
isrngim  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngIsom  S )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )

Proof of Theorem isrngim
StepHypRef Expression
1 isrngisom 40000 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngIsom  S )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  `' F  e.  ( S RngHomo  R ) ) ) )
2 rnghmf1o.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rnghmf1o.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  S
)
42, 3rnghmf1o 40007 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  `' F  e.  ( S RngHomo  R ) ) )
54bicomd 205 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  ->  ( `' F  e.  ( S RngHomo  R )  <->  F : B -1-1-onto-> C ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  ->  ( `' F  e.  ( S RngHomo  R )  <->  F : B
-1-1-onto-> C ) ) )
76pm5.32d 645 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  `' F  e.  ( S RngHomo  R ) )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )
81, 7bitrd 257 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngIsom  S )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   `'ccnv 4836   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   RngHomo crngh 39989   RngIsom crngs 39990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-plusg 15215  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-ghm 16893  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-mgmhm 39883  df-rng0 39979  df-rnghomo 39991  df-rngisom 39992
This theorem is referenced by:  rngimf1o  40009  rngimrnghm  40010  rngcinv  40087  rngcinvALTV  40099
  Copyright terms: Public domain W3C validator