Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrngim Structured version   Unicode version

Theorem isrngim 32897
Description: An isomorphism of non-unital rings is a bijective homomorphism. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmf1o.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rnghmf1o.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
isrngim  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngIsom  S )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )

Proof of Theorem isrngim
StepHypRef Expression
1 isrngisom 32889 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngIsom  S )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  `' F  e.  ( S RngHomo  R ) ) ) )
2 rnghmf1o.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rnghmf1o.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  S
)
42, 3rnghmf1o 32896 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  `' F  e.  ( S RngHomo  R ) ) )
54bicomd 201 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  ->  ( `' F  e.  ( S RngHomo  R )  <->  F : B -1-1-onto-> C ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  ->  ( `' F  e.  ( S RngHomo  R )  <->  F : B
-1-1-onto-> C ) ) )
76pm5.32d 639 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  `' F  e.  ( S RngHomo  R ) )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )
81, 7bitrd 253 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RngIsom  S )  <->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   `'ccnv 5007   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   RngHomo crngh 32878   RngIsom crngs 32879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-plusg 14816  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-grp 16275  df-ghm 16483  df-abl 17019  df-mgp 17360  df-mgmhm 32772  df-rng0 32868  df-rnghomo 32880  df-rngisom 32881
This theorem is referenced by:  rngimf1o  32898  rngimrnghm  32899  rngcinv  32976  rngcinvOLD  32988
  Copyright terms: Public domain W3C validator