MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrngid Structured version   Unicode version

Theorem isrngid 17006
Description: Properties showing that an element  I is the unity element of a ring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngidm.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
isrngid  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( I  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( ( I  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  I )  =  x ) )  <-> 
.1.  =  I ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, R    x,  .x.    x,  .1.

Proof of Theorem isrngid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2 rngidm.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2mgpbas 16932 . 2  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
4 rngidm.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
51, 4rngidval 16940 . 2  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
6 rngidm.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
71, 6mgpplusg 16930 . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
82, 6rngideu 16998 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  E! y  e.  B  A. x  e.  B  ( (
y  .x.  x )  =  x  /\  (
x  .x.  y )  =  x ) )
9 reurex 3073 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  A. x  e.  B  (
( y  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  y )  =  x )  ->  E. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( y  .x.  x )  =  x  /\  ( x  .x.  y )  =  x ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  E. y  e.  B  A. x  e.  B  ( (
y  .x.  x )  =  x  /\  (
x  .x.  y )  =  x ) )
113, 5, 7, 10ismgmid 15743 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( I  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( ( I  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  I )  =  x ) )  <-> 
.1.  =  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   E!wreu 2811   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   .rcmulr 14547  mulGrpcmgp 16926   1rcur 16938   Ringcrg 16981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983
This theorem is referenced by:  imasrng  17047  subrg1  17217  psr1  17833  cnfld1  18209  mat1  18711  erng1lem  35660  erngdvlem4-rN  35672
  Copyright terms: Public domain W3C validator