MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrngid Structured version   Unicode version

Theorem isrngid 16776
Description: Properties showing that an element  I is the unity element of a ring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngidm.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
isrngid  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( I  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( ( I  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  I )  =  x ) )  <-> 
.1.  =  I ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, R    x,  .x.    x,  .1.

Proof of Theorem isrngid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2 rngidm.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2mgpbas 16702 . 2  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
4 rngidm.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
51, 4rngidval 16710 . 2  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
6 rngidm.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
71, 6mgpplusg 16700 . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
82, 6rngideu 16768 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  E! y  e.  B  A. x  e.  B  ( (
y  .x.  x )  =  x  /\  (
x  .x.  y )  =  x ) )
9 reurex 3033 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  A. x  e.  B  (
( y  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  y )  =  x )  ->  E. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( y  .x.  x )  =  x  /\  ( x  .x.  y )  =  x ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  E. y  e.  B  A. x  e.  B  ( (
y  .x.  x )  =  x  /\  (
x  .x.  y )  =  x ) )
113, 5, 7, 10ismgmid 15537 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( I  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( ( I  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  I )  =  x ) )  <-> 
.1.  =  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   E!wreu 2797   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   .rcmulr 14341  mulGrpcmgp 16696   1rcur 16708   Ringcrg 16751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753
This theorem is referenced by:  imasrng  16817  subrg1  16981  psr1  17591  cnfld1  17950  mat1  18445  erng1lem  34937  erngdvlem4-rN  34949
  Copyright terms: Public domain W3C validator