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Theorem isrnghm 39477
Description: A function is a non-unital ring homomorphism iff it is a group homomorphism and preserves multiplication. (Contributed by AV, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrnghm.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
isrnghm.m  |-  .*  =  ( .r `  S )
Assertion
Ref Expression
isrnghm  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  <->  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R, y    x, S, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    .* ( x, y)

Proof of Theorem isrnghm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 39474 . 2  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  ->  ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )
)
2 isrnghm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 isrnghm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 isrnghm.m . . . . 5  |-  .*  =  ( .r `  S )
5 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
6 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
7 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7rnghmval 39476 . . . 4  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( R RngHomo  S )  =  { f  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) } )
98eleq2d 2485 . . 3  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  <->  F  e.  { f  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) } ) )
10 fveq1 5817 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) ) )
11 fveq1 5817 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
12 fveq1 5817 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1311, 12oveq12d 6260 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )
1410, 13eqeq12d 2437 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  S ) ( f `  y
) )  <->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) ) ) )
15 fveq1 5817 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
1611, 12oveq12d 6260 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .*  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) )
1715, 16eqeq12d 2437 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .*  ( F `
 y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) ) ) )
19182ralbidv 2803 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) ) ) )
2019elrab 3164 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) ) ) )
21 r19.26-2 2889 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) )
2221anbi2i 698 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) )  <->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) ) )
23 anass 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) )  <->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) ) )
2422, 23bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .*  ( F `
 y ) ) ) )
252, 5, 6, 7isghm 16819 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  <->  ( ( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) ) ) )
26 fvex 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  e.  _V
27 fvex 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  e.  _V
282, 27eqeltri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2926, 28pm3.2i 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  S )  e.  _V  /\  B  e. 
_V )
30 elmapg 7433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Base `  S
)  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  <->  F : B --> ( Base `  S ) ) )
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  <->  F : B --> ( Base `  S ) ) )
3231anbi1d 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  <->  ( F : B
--> ( Base `  S
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) ) ) ) )
33 rngabl 39462 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. Rng  ->  R  e.  Abel )
34 ablgrp 17371 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. 
Grp )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. Rng  ->  R  e.  Grp )
36 rngabl 39462 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. Rng  ->  S  e.  Abel )
37 ablgrp 17371 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Abel  ->  S  e. 
Grp )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Rng  ->  S  e.  Grp )
39 ibar 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  ->  ( ( F : B
--> ( Base `  S
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( R  e. 
Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) ) ) ) )
4035, 38, 39syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  <->  ( ( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) ) ) ) )
4132, 40bitr2d 257 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( (
( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) ) )  <-> 
( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) ) ) )
4225, 41syl5rbb 261 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  <->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) ) )
4342anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( (
( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) )  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
4424, 43syl5bb 260 . . . 4  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) )  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
4520, 44syl5bb 260 . . 3  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  { f  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
469, 45bitrd 256 . 2  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  <->  ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) ) )
471, 46biadan2 646 1  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  <->  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2708   {crab 2712   _Vcvv 3016   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242    ^m cmap 7420   Basecbs 15057   +g cplusg 15126   .rcmulr 15127   Grpcgrp 16605    GrpHom cghm 16816   Abelcabl 17367  Rngcrng 39459   RngHomo crngh 39470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-map 7422  df-ghm 16817  df-abl 17369  df-rng0 39460  df-rnghomo 39472
This theorem is referenced by:  isrnghmmul  39478  rnghmghm  39483  rnghmmul  39485  isrnghm2d  39486  zrrnghm  39502
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