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Theorem isrnghm 38659
Description: A function is a non-unital ring homomorphism iff it is a group homomorphism and preserves multiplication. (Contributed by AV, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrnghm.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
isrnghm.m  |-  .*  =  ( .r `  S )
Assertion
Ref Expression
isrnghm  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  <->  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R, y    x, S, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    .* ( x, y)

Proof of Theorem isrnghm
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 38656 . 2  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  ->  ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )
)
2 isrnghm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 isrnghm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 isrnghm.m . . . . 5  |-  .*  =  ( .r `  S )
5 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
6 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
7 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7rnghmval 38658 . . . 4  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( R RngHomo  S )  =  { f  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) } )
98eleq2d 2499 . . 3  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  <->  F  e.  { f  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) } ) )
10 fveq1 5880 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) ) )
11 fveq1 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
12 fveq1 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1311, 12oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )
1410, 13eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  S ) ( f `  y
) )  <->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) ) ) )
15 fveq1 5880 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
1611, 12oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .*  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) )
1715, 16eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .*  ( F `
 y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) ) ) )
19182ralbidv 2876 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) ) ) )
2019elrab 3235 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .*  ( F `  y
) ) ) ) )
21 r19.26-2 2963 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) )
2221anbi2i 698 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) )  <->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) ) )
23 anass 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) )  <->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) ) )
2422, 23bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .*  ( F `
 y ) ) ) )
252, 5, 6, 7isghm 16834 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  <->  ( ( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) ) ) )
26 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  e.  _V
27 fvex 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  e.  _V
282, 27eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2926, 28pm3.2i 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  S )  e.  _V  /\  B  e. 
_V )
30 elmapg 7493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Base `  S
)  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  <->  F : B --> ( Base `  S ) ) )
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  <->  F : B --> ( Base `  S ) ) )
3231anbi1d 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  <->  ( F : B
--> ( Base `  S
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) ) ) ) )
33 rngabl 38644 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. Rng  ->  R  e.  Abel )
34 ablgrp 17370 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. 
Grp )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. Rng  ->  R  e.  Grp )
36 rngabl 38644 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. Rng  ->  S  e.  Abel )
37 ablgrp 17370 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Abel  ->  S  e. 
Grp )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Rng  ->  S  e.  Grp )
39 ibar 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  ->  ( ( F : B
--> ( Base `  S
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S
) ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( R  e. 
Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) ) ) ) )
4035, 38, 39syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  <->  ( ( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) ) ) ) )
4132, 40bitr2d 257 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( (
( R  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) ) )  <-> 
( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) ) ) )
4225, 41syl5rbb 261 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  S ) ( F `
 y ) ) )  <->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) ) )
4342anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( (
( F  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) )  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
4424, 43syl5bb 260 . . . 4  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( ( F  e.  ( ( Base `  S )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  S ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) )  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
4520, 44syl5bb 260 . . 3  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  { f  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  S
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  .*  ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
469, 45bitrd 256 . 2  |-  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  ->  ( F  e.  ( R RngHomo  S )  <->  ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y )
) ) ) )
471, 46biadan2 646 1  |-  ( F  e.  ( R RngHomo  S
)  <->  ( ( R  e. Rng  /\  S  e. Rng )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  .*  ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   Grpcgrp 16620    GrpHom cghm 16831   Abelcabl 17366  Rngcrng 38641   RngHomo crngh 38652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-ghm 16832  df-abl 17368  df-rng0 38642  df-rnghomo 38654
This theorem is referenced by:  isrnghmmul  38660  rnghmghm  38665  rnghmmul  38667  isrnghm2d  38668  zrrnghm  38684
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