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Theorem isrng 39148
Description: The predicate "is a non-unital ring." (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrng.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrng.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
isrng.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
isrng.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isrng  |-  ( R  e. Rng 
<->  ( R  e.  Abel  /\  G  e. SGrp  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B, y, z    x, R, y, z    x,  .x. , y, z   
x,  .+ , y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)

Proof of Theorem isrng
Dummy variables  b 
r  t  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5878 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  R ) )
2 isrng.g . . . . . 6  |-  G  =  (mulGrp `  R )
31, 2syl6eqr 2481 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  G )
43eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
(mulGrp `  r )  e. SGrp  <-> 
G  e. SGrp ) )
5 fvex 5888 . . . . . 6  |-  ( Base `  r )  e.  _V
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
7 fveq2 5878 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
8 isrng.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
97, 8syl6eqr 2481 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
10 fvex 5888 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  r )  e.  _V
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  e.  _V )
12 fveq2 5878 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  R
) )
1312adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  ( +g  `  R ) )
14 isrng.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
1513, 14syl6eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  .+  )
16 fvex 5888 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  r )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  e. 
_V )
18 fveq2 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
1918adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( .r `  r
)  =  ( .r
`  R ) )
2019adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
21 isrng.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2220, 21syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
23 simpllr 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  b  =  B )
24 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  t  =  .x.  )
25 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  x  =  x )
26 oveq 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  .+  ->  (
y p z )  =  ( y  .+  z ) )
2726ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y p z )  =  ( y  .+  z ) )
2824, 25, 27oveq123d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t ( y p z ) )  =  ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) )
29 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  p  =  .+  )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  p  =  .+  )
31 oveq 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  .x.  ->  (
x t y )  =  ( x  .x.  y ) )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t y )  =  ( x  .x.  y ) )
33 oveq 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  .x.  ->  (
x t z )  =  ( x  .x.  z ) )
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t z )  =  ( x  .x.  z ) )
3530, 32, 34oveq123d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t y ) p ( x t z ) )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( x  .x.  z ) ) )
3628, 35eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  <->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) ) )
37 oveq 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  .+  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
3837ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
39 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  z  =  z )
4024, 38, 39oveq123d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x p y ) t z )  =  ( ( x 
.+  y )  .x.  z ) )
41 oveq 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  .x.  ->  (
y t z )  =  ( y  .x.  z ) )
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y t z )  =  ( y  .x.  z ) )
4330, 34, 42oveq123d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t z ) p ( y t z ) )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
4440, 43eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) )  <->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
4536, 44anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4623, 45raleqbidv 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4723, 46raleqbidv 3039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4823, 47raleqbidv 3039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4917, 22, 48sbcied2 3337 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
5011, 15, 49sbcied2 3337 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( [. ( +g  `  r )  /  p ]. [. ( .r `  r )  /  t ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
516, 9, 50sbcied2 3337 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
524, 51anbi12d 715 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( (mulGrp `  r
)  e. SGrp  /\  [. ( Base `  r )  / 
b ]. [. ( +g  `  r )  /  p ]. [. ( .r `  r )  /  t ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) )  <->  ( G  e. SGrp  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
53 df-rng0 39147 . . 3  |- Rng  =  {
r  e.  Abel  |  ( (mulGrp `  r )  e. SGrp  /\  [. ( Base `  r )  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
5452, 53elrab2 3231 . 2  |-  ( R  e. Rng 
<->  ( R  e.  Abel  /\  ( G  e. SGrp  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
55 3anass 986 . 2  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  G  e. SGrp  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )  <->  ( R  e. 
Abel  /\  ( G  e. SGrp  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
5654, 55bitr4i 255 1  |-  ( R  e. Rng 
<->  ( R  e.  Abel  /\  G  e. SGrp  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   [.wsbc 3299   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   .rcmulr 15179  SGrpcsgrp 16514   Abelcabl 17419  mulGrpcmgp 17711  Rngcrng 39146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-nul 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-iota 5562  df-fv 5606  df-ov 6305  df-rng0 39147
This theorem is referenced by:  rngabl  39149  rngmgp  39150  ringrng  39151  isringrng  39153  rngdir  39154  lidlrng  39199  2zrngALT  39220  cznrng  39229
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