MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrim Structured version   Unicode version

Theorem isrim 17592
Description: An isomorphism of rings is a bijective homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf1o.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rhmf1o.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
isrim  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RingIso  S )  <->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )

Proof of Theorem isrim
StepHypRef Expression
1 isrim0 17582 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RingIso  S )  <->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  `' F  e.  ( S RingHom  R ) ) ) )
2 rhmf1o.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rhmf1o.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  S
)
42, 3rhmf1o 17591 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  `' F  e.  ( S RingHom  R ) ) )
54bicomd 201 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( `' F  e.  ( S RingHom  R )  <->  F : B -1-1-onto-> C ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  ->  ( `' F  e.  ( S RingHom  R )  <->  F : B
-1-1-onto-> C ) ) )
76pm5.32d 637 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  `' F  e.  ( S RingHom  R ) )  <->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )
81, 7bitrd 253 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( F  e.  ( R RingIso  S )  <->  ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   `'ccnv 4939   -1-1-onto->wf1o 5522   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   RingHom crh 17571   RingIso crs 17572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-grp 16271  df-ghm 16479  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-rnghom 17574  df-rngiso 17575
This theorem is referenced by:  rimf1o  17593  rimrhm  17594  mat1rngiso  19170  scmatrngiso  19220  m2cpmrngiso  19441  pm2mprngiso  19505  ringcinv  38284  ringcinvALTV  38308
  Copyright terms: Public domain W3C validator