MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm2d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isrhm2d 17949
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrhmd.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
isrhmd.n  |-  N  =  ( 1r `  S
)
isrhmd.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
isrhmd.u  |-  .X.  =  ( .r `  S )
isrhmd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
isrhmd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
isrhmd.ho  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
isrhmd.ht  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
isrhm2d.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
Assertion
Ref Expression
isrhm2d  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, F, y    x, R, y   
x, S, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    .X. ( x, y)    .1. ( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem isrhm2d
StepHypRef Expression
1 isrhmd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 isrhmd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
31, 2jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring )
)
4 isrhm2d.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
5 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
65ringmgp 17779 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
71, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
8 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
98ringmgp 17779 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
102, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
117, 10jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  R
)  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  S )  e. 
Mnd ) )
12 isrhmd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
13 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1412, 13ghmf 16880 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  F : B
--> ( Base `  S
) )
154, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : B --> ( Base `  S ) )
16 isrhmd.ht . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
1716ralrimivva 2808 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .X.  ( F `  y ) ) )
18 isrhmd.ho . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
19 isrhmd.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
205, 19ringidval 17730 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
2120fveq2i 5866 . . . . . 6  |-  ( F `
 .1.  )  =  ( F `  ( 0g `  (mulGrp `  R
) ) )
22 isrhmd.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( 1r `  S
)
238, 22ringidval 17730 . . . . . 6  |-  N  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) )
2418, 21, 233eqtr3g 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  (mulGrp `  R
) ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) ) )
2515, 17, 243jca 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .X.  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )  =  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
) ) )
265, 12mgpbas 17722 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
278, 13mgpbas 17722 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (mulGrp `  S
) )
28 isrhmd.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
295, 28mgpplusg 17720 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
30 isrhmd.u . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .r `  S )
318, 30mgpplusg 17720 . . . . 5  |-  .X.  =  ( +g  `  (mulGrp `  S ) )
32 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
)  =  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
)
33 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
)  =  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
)
3426, 27, 29, 31, 32, 33ismhm 16577 . . . 4  |-  ( F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S
) )  <->  ( (
(mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )  /\  ( F : B
--> ( Base `  S
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .X.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) ) ) ) )
3511, 25, 34sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S ) ) )
364, 35jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S ) ) ) )
375, 8isrhm 17942 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R
) MndHom  (mulGrp `  S )
) ) ) )
383, 36, 37sylanbrc 669 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   .rcmulr 15184   0gc0g 15331   Mndcmnd 16528   MndHom cmhm 16573    GrpHom cghm 16873  mulGrpcmgp 17716   1rcur 17728   Ringcrg 17773   RingHom crh 17933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mhm 16575  df-ghm 16874  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-rnghom 17936
This theorem is referenced by:  isrhmd  17950  qusrhm  18454  asclrhm  18559  mulgrhm  19062  rhmopp  28575
  Copyright terms: Public domain W3C validator