MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm2d Structured version   Unicode version

Theorem isrhm2d 17504
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrhmd.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
isrhmd.n  |-  N  =  ( 1r `  S
)
isrhmd.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
isrhmd.u  |-  .X.  =  ( .r `  S )
isrhmd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
isrhmd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
isrhmd.ho  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
isrhmd.ht  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
isrhm2d.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
Assertion
Ref Expression
isrhm2d  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, F, y    x, R, y   
x, S, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    .X. ( x, y)    .1. ( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem isrhm2d
StepHypRef Expression
1 isrhmd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 isrhmd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring )
)
4 isrhm2d.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
5 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
65ringmgp 17331 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
8 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
98ringmgp 17331 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
102, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
117, 10jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  R
)  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  S )  e. 
Mnd ) )
12 isrhmd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
13 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1412, 13ghmf 16398 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  F : B
--> ( Base `  S
) )
154, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : B --> ( Base `  S ) )
16 isrhmd.ht . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
1716ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .X.  ( F `  y ) ) )
18 isrhmd.ho . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
19 isrhmd.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
205, 19ringidval 17282 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
2120fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( F `
 .1.  )  =  ( F `  ( 0g `  (mulGrp `  R
) ) )
22 isrhmd.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( 1r `  S
)
238, 22ringidval 17282 . . . . . 6  |-  N  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) )
2418, 21, 233eqtr3g 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  (mulGrp `  R
) ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) ) )
2515, 17, 243jca 1176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F : B --> ( Base `  S )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .X.  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )  =  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
) ) )
265, 12mgpbas 17274 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
278, 13mgpbas 17274 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (mulGrp `  S
) )
28 isrhmd.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
295, 28mgpplusg 17272 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
30 isrhmd.u . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .r `  S )
318, 30mgpplusg 17272 . . . . 5  |-  .X.  =  ( +g  `  (mulGrp `  S ) )
32 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
)  =  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
)
33 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
)  =  ( 0g
`  (mulGrp `  S )
)
3426, 27, 29, 31, 32, 33ismhm 16095 . . . 4  |-  ( F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S
) )  <->  ( (
(mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )  /\  ( F : B
--> ( Base `  S
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .X.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( 0g
`  (mulGrp `  R )
) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  S ) ) ) ) )
3511, 25, 34sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S ) ) )
364, 35jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S ) ) ) )
375, 8isrhm 17497 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R
) MndHom  (mulGrp `  S )
) ) ) )
383, 36, 37sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   Mndcmnd 16046   MndHom cmhm 16091    GrpHom cghm 16391  mulGrpcmgp 17268   1rcur 17280   Ringcrg 17325   RingHom crh 17488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mhm 16093  df-ghm 16392  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-rnghom 17491
This theorem is referenced by:  isrhmd  17505  qusrhm  18012  asclrhm  18118  mulgrhm  18659  mulgrhmOLD  18662  rhmopp  27970
  Copyright terms: Public domain W3C validator