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Theorem isreg2 20470
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:   o, c, p, x, J   X, c, o, p, x
Proof of Theorem isreg2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 1055 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. Reg )
2 simp2l 1056 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> c e. ( Clsd ` J ) )
3 simp2r 1057 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. X )
4 simp1l 1054 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5 toponuni 20019 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
64, 5syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> X = U. J )
73, 6eleqtrd 2551 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. U. J )
8 simp3 1032 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> -. x e. c )
9 eqid 2471 . . . . . 6 |- U. J = U. J
109regsep2 20469 . . . . 5 |- ( ( J e. Reg /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. U. J /\ -. x e. c ) ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1294 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
12113expia 1233 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) ) -> ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
1312ralrimivva 2814 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
14 topontop 20018 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
1514adantr 472 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
165adantr 472 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> X = U. J )
1716difeq1d 3539 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) = ( U. J \ y ) )
189opncld 20125 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
1914, 18sylan 479 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
2017, 19eqeltrd 2549 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
21 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( X \ y ) -> ( x e. c <-> x e. ( X \ y ) ) )
2221notbid 301 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( X \ y ) -> ( -. x e. c <-> -. x e. ( X \ y ) ) )
23 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X \ y ) <-> ( x e. X /\ -. x e. y ) )
2423baibr 920 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( -. x e. y <-> x e. ( X \ y ) ) )
2524con1bid 337 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X -> ( -. x e. ( X \ y ) <-> x e. y ) )
2622, 25sylan9bb 714 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( -. x e. c <-> x e. y ) )
27 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> c = ( X \ y ) )
2827sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( c C_ o <-> ( X \ y ) C_ o ) )
29283anbi1d 1369 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
30292rexbidv 2897 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 327 . . . . . . . . 9 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2828 . . . . . . . 8 |- ( c = ( X \ y ) -> ( A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3332rspcv 3132 . . . . . . 7 |- ( ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3420, 33syl 17 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
35 ralcom3 2942 . . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
36 toponss 20021 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> y C_ X )
3736sselda 3418 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> x e. X )
38 simprr2 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> x e. p )
395ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> X = U. J )
4039difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) = ( U. J \ o ) )
4114ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
42 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> o e. J )
439opncld 20125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4441, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4540, 44eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
46 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p i^i o ) = ( o i^i p )
47 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( o i^i p ) = (/) )
4846, 47syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( p i^i o ) = (/) )
49 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
50 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p e. J )
51 toponss 20021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ p e. J ) -> p C_ X )
5249, 50, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ X )
53 reldisj 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p C_ X -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5548, 54mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ ( X \ o ) )
569clsss2 20165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) /\ p C_ ( X \ o ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
5745, 55, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
58 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ y ) C_ o )
59 difcom 3843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X \ y ) C_ o <-> ( X \ o ) C_ y )
6058, 59sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) C_ y )
6157, 60sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y )
6238, 61jca 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
6362expr 626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( o e. J /\ p e. J ) ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6463anassrs 660 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) /\ p e. J ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6564reximdva 2858 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) -> ( E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6665rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6737, 66embantd 55 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6867ralimdva 2805 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6935, 68syl5bi 225 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7034, 69syld 44 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7170ralrimdva 2812 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7271imp 436 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
73 isreg 20425 . . 3 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 677 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Reg )
7513, 74impbida 850 1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108   clsccl 20110   Regcreg 20402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-reg 20409
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