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Theorem isreg2 20470
 Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2 TopOn
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem isreg2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 1055 . . . . 5 TopOn
2 simp2l 1056 . . . . 5 TopOn
3 simp2r 1057 . . . . . 6 TopOn
4 simp1l 1054 . . . . . . 7 TopOn TopOn
5 toponuni 20019 . . . . . . 7 TopOn
64, 5syl 17 . . . . . 6 TopOn
73, 6eleqtrd 2551 . . . . 5 TopOn
8 simp3 1032 . . . . 5 TopOn
9 eqid 2471 . . . . . 6
109regsep2 20469 . . . . 5
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1294 . . . 4 TopOn
12113expia 1233 . . 3 TopOn
1312ralrimivva 2814 . 2 TopOn
14 topontop 20018 . . . 4 TopOn
1514adantr 472 . . 3 TopOn
165adantr 472 . . . . . . . . 9 TopOn
1716difeq1d 3539 . . . . . . . 8 TopOn
189opncld 20125 . . . . . . . . 9
1914, 18sylan 479 . . . . . . . 8 TopOn
2017, 19eqeltrd 2549 . . . . . . 7 TopOn
21 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
2221notbid 301 . . . . . . . . . . 11
23 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . 13
2423baibr 920 . . . . . . . . . . . 12
2524con1bid 337 . . . . . . . . . . 11
2622, 25sylan9bb 714 . . . . . . . . . 10
27 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
2827sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . 12
29283anbi1d 1369 . . . . . . . . . . 11
30292rexbidv 2897 . . . . . . . . . 10
3126, 30imbi12d 327 . . . . . . . . 9
3231ralbidva 2828 . . . . . . . 8
3332rspcv 3132 . . . . . . 7
3420, 33syl 17 . . . . . 6 TopOn
35 ralcom3 2942 . . . . . . 7
36 toponss 20021 . . . . . . . . . 10 TopOn
3736sselda 3418 . . . . . . . . 9 TopOn
38 simprr2 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
395ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
4039difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
4114ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
42 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
439opncld 20125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4441, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
4540, 44eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
46 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
4846, 47syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
49 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn TopOn
50 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
51 toponss 20021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
5249, 50, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
53 reldisj 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
5548, 54mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
569clsss2 20165 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5745, 55, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
58 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
59 difcom 3843 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6058, 59sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
6157, 60sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
6238, 61jca 541 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6362expr 626 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6463anassrs 660 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6564reximdva 2858 . . . . . . . . . 10 TopOn
6665rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9 TopOn
6737, 66embantd 55 . . . . . . . 8 TopOn
6867ralimdva 2805 . . . . . . 7 TopOn
6935, 68syl5bi 225 . . . . . 6 TopOn
7034, 69syld 44 . . . . 5 TopOn
7170ralrimdva 2812 . . . 4 TopOn
7271imp 436 . . 3 TopOn
73 isreg 20425 . . 3
7415, 72, 73sylanbrc 677 . 2 TopOn
7513, 74impbida 850 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cuni 4190  cfv 5589  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccld 20108  ccl 20110  creg 20402 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-reg 20409 This theorem is referenced by: (None)
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