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Theorem isreg2 20335
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, c, p, x, J    X, c,
o, p, x

Proof of Theorem isreg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  Reg )
2 simp2l 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  c  e.  ( Clsd `  J ) )
3 simp2r 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  X )
4 simp1l 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 19884 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  X  =  U. J
)
73, 6eleqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  U. J
)
8 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  -.  x  e.  c )
9 eqid 2428 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
109regsep2 20334 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  e.  U. J  /\  -.  x  e.  c ) )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )
12113expia 1207 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X ) )  -> 
( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2786 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
14 topontop 19883 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1514adantr 466 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
165adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  X  =  U. J )
1716difeq1d 3525 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  =  ( U. J  \ 
y ) )
189opncld 19990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1914, 18sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2017, 19eqeltrd 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
21 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  (
x  e.  c  <->  x  e.  ( X  \  y
) ) )
2221notbid 295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  -.  x  e.  ( X 
\  y ) ) )
23 eldif 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \ 
y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  y ) )
2423baibr 912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  y  <->  x  e.  ( X  \ 
y ) ) )
2524con1bid 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  ( X  \  y )  <->  x  e.  y ) )
2622, 25sylan9bb 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  x  e.  y
) )
27 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  c  =  ( X 
\  y ) )
2827sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( c  C_  o  <->  ( X  \  y ) 
C_  o ) )
29283anbi1d 1339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
30292rexbidv 2885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2801 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3332rspcv 3121 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3420, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
35 ralcom3 2933 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
36 toponss 19886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
3736sselda 3407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  X )
38 simprr2 1054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  p )
395ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  X  =  U. J )
4039difeq1d 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  =  ( U. J  \  o
) )
4114ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
42 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  o  e.  J )
439opncld 19990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
o )  e.  (
Clsd `  J )
)
4441, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
4540, 44eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
46 incom 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  i^i  o )  =  ( o  i^i  p
)
47 simprr3 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( o  i^i  p )  =  (/) )
4846, 47syl5eq 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( p  i^i  o )  =  (/) )
49 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
50 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  e.  J )
51 toponss 19886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  p  e.  J )  ->  p  C_  X )
5249, 50, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  X
)
53 reldisj 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p 
C_  X  ->  (
( p  i^i  o
)  =  (/)  <->  p  C_  ( X  \  o ) ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( (
p  i^i  o )  =  (/)  <->  p  C_  ( X 
\  o ) ) )
5548, 54mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  ( X  \  o ) )
569clsss2 20030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  p  C_  ( X  \  o
) )  ->  (
( cls `  J
) `  p )  C_  ( X  \  o
) )
5745, 55, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  ( X  \  o ) )
58 simprr1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  y )  C_  o
)
59 difcom 3825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  y ) 
C_  o  <->  ( X  \  o )  C_  y
)
6058, 59sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  C_  y
)
6157, 60sstrd 3417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  y
)
6238, 61jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
6362expr 618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
o  e.  J  /\  p  e.  J )
)  ->  ( (
( X  \  y
)  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6463anassrs 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  /\  p  e.  J )  ->  (
( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6564reximdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6665rexlimdva 2856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6737, 66embantd 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6867ralimdva 2773 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6935, 68syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7034, 69syld 45 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7170ralrimdva 2783 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7271imp 430 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
73 isreg 20290 . . 3  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
7513, 74impbida 840 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715    \ cdif 3376    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   U.cuni 4162   ` cfv 5544   Topctop 19859  TopOnctopon 19860   Clsdccld 19973   clsccl 19975   Regcreg 20267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-top 19863  df-topon 19865  df-cld 19976  df-cls 19978  df-reg 20274
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