MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isreg2 Structured version   Unicode version
Theorem isreg2 20335
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:   o, c, p, x, J   X, c, o, p, x
Proof of Theorem isreg2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 1030 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. Reg )
2 simp2l 1031 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> c e. ( Clsd ` J ) )
3 simp2r 1032 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. X )
4 simp1l 1029 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5 toponuni 19884 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
64, 5syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> X = U. J )
73, 6eleqtrd 2508 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. U. J )
8 simp3 1007 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> -. x e. c )
9 eqid 2428 . . . . . 6 |- U. J = U. J
109regsep2 20334 . . . . 5 |- ( ( J e. Reg /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. U. J /\ -. x e. c ) ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1266 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
12113expia 1207 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) ) -> ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
1312ralrimivva 2786 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
14 topontop 19883 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
1514adantr 466 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
165adantr 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> X = U. J )
1716difeq1d 3525 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) = ( U. J \ y ) )
189opncld 19990 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
1914, 18sylan 473 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
2017, 19eqeltrd 2506 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
21 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( X \ y ) -> ( x e. c <-> x e. ( X \ y ) ) )
2221notbid 295 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( X \ y ) -> ( -. x e. c <-> -. x e. ( X \ y ) ) )
23 eldif 3389 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X \ y ) <-> ( x e. X /\ -. x e. y ) )
2423baibr 912 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( -. x e. y <-> x e. ( X \ y ) ) )
2524con1bid 331 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X -> ( -. x e. ( X \ y ) <-> x e. y ) )
2622, 25sylan9bb 704 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( -. x e. c <-> x e. y ) )
27 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> c = ( X \ y ) )
2827sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( c C_ o <-> ( X \ y ) C_ o ) )
29283anbi1d 1339 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
30292rexbidv 2885 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 321 . . . . . . . . 9 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2801 . . . . . . . 8 |- ( c = ( X \ y ) -> ( A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3332rspcv 3121 . . . . . . 7 |- ( ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3420, 33syl 17 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
35 ralcom3 2933 . . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
36 toponss 19886 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> y C_ X )
3736sselda 3407 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> x e. X )
38 simprr2 1054 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> x e. p )
395ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> X = U. J )
4039difeq1d 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) = ( U. J \ o ) )
4114ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
42 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> o e. J )
439opncld 19990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4441, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4540, 44eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
46 incom 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p i^i o ) = ( o i^i p )
47 simprr3 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( o i^i p ) = (/) )
4846, 47syl5eq 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( p i^i o ) = (/) )
49 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
50 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p e. J )
51 toponss 19886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ p e. J ) -> p C_ X )
5249, 50, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ X )
53 reldisj 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p C_ X -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5548, 54mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ ( X \ o ) )
569clsss2 20030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) /\ p C_ ( X \ o ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
5745, 55, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
58 simprr1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ y ) C_ o )
59 difcom 3825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X \ y ) C_ o <-> ( X \ o ) C_ y )
6058, 59sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) C_ y )
6157, 60sstrd 3417 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y )
6238, 61jca 534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
6362expr 618 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( o e. J /\ p e. J ) ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6463anassrs 652 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) /\ p e. J ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6564reximdva 2839 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) -> ( E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6665rexlimdva 2856 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6737, 66embantd 56 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6867ralimdva 2773 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6935, 68syl5bi 220 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7034, 69syld 45 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7170ralrimdva 2783 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7271imp 430 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
73 isreg 20290 . . 3 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 668 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Reg )
7513, 74impbida 840 1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   \ cdif 3376   i^i cin 3378   C_ wss 3379   (/)c0 3704   U.cuni 4162   ` cfv 5544   Topctop 19859  TopOnctopon 19860   Clsdccld 19973   clsccl 19975   Regcreg 20267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-top 19863  df-topon 19865  df-cld 19976  df-cls 19978  df-reg 20274
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator