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Theorem isreg2 20045
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, c, p, x, J    X, c,
o, p, x

Proof of Theorem isreg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  Reg )
2 simp2l 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  c  e.  ( Clsd `  J ) )
3 simp2r 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  X )
4 simp1l 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 19595 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  X  =  U. J
)
73, 6eleqtrd 2544 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  U. J
)
8 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  -.  x  e.  c )
9 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
109regsep2 20044 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  e.  U. J  /\  -.  x  e.  c ) )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )
12113expia 1196 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X ) )  -> 
( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2875 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
14 topontop 19594 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1514adantr 463 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
165adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  X  =  U. J )
1716difeq1d 3607 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  =  ( U. J  \ 
y ) )
189opncld 19701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1914, 18sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2017, 19eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
21 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  (
x  e.  c  <->  x  e.  ( X  \  y
) ) )
2221notbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  -.  x  e.  ( X 
\  y ) ) )
23 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \ 
y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  y ) )
2423baibr 902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  y  <->  x  e.  ( X  \ 
y ) ) )
2524con1bid 328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  ( X  \  y )  <->  x  e.  y ) )
2622, 25sylan9bb 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  x  e.  y
) )
27 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  c  =  ( X 
\  y ) )
2827sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( c  C_  o  <->  ( X  \  y ) 
C_  o ) )
29283anbi1d 1301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
30292rexbidv 2972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2890 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3332rspcv 3203 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3420, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
35 ralcom3 3020 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
36 toponss 19597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
3736sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  X )
38 simprr2 1043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  p )
395ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  X  =  U. J )
4039difeq1d 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  =  ( U. J  \  o
) )
4114ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
42 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  o  e.  J )
439opncld 19701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
o )  e.  (
Clsd `  J )
)
4441, 42, 43syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
4540, 44eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
46 incom 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  i^i  o )  =  ( o  i^i  p
)
47 simprr3 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( o  i^i  p )  =  (/) )
4846, 47syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( p  i^i  o )  =  (/) )
49 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
50 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  e.  J )
51 toponss 19597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  p  e.  J )  ->  p  C_  X )
5249, 50, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  X
)
53 reldisj 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p 
C_  X  ->  (
( p  i^i  o
)  =  (/)  <->  p  C_  ( X  \  o ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( (
p  i^i  o )  =  (/)  <->  p  C_  ( X 
\  o ) ) )
5548, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  ( X  \  o ) )
569clsss2 19740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  p  C_  ( X  \  o
) )  ->  (
( cls `  J
) `  p )  C_  ( X  \  o
) )
5745, 55, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  ( X  \  o ) )
58 simprr1 1042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  y )  C_  o
)
59 difcom 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  y ) 
C_  o  <->  ( X  \  o )  C_  y
)
6058, 59sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  C_  y
)
6157, 60sstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  y
)
6238, 61jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
6362expr 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
o  e.  J  /\  p  e.  J )
)  ->  ( (
( X  \  y
)  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6463anassrs 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  /\  p  e.  J )  ->  (
( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6564reximdva 2929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6665rexlimdva 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6737, 66embantd 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6867ralimdva 2862 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6935, 68syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7034, 69syld 44 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7170ralrimdva 2872 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7271imp 427 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
73 isreg 20000 . . 3  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
7513, 74impbida 830 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   U.cuni 4235   ` cfv 5570   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   Clsdccld 19684   clsccl 19686   Regcreg 19977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-top 19566  df-topon 19569  df-cld 19687  df-cls 19689  df-reg 19984
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