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Theorem isreg2 18993
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:   o, c, p, x, J   X, c, o, p, x
Proof of Theorem isreg2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 1013 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. Reg )
2 simp2l 1014 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> c e. ( Clsd ` J ) )
3 simp2r 1015 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. X )
4 simp1l 1012 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5 toponuni 18544 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
64, 5syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> X = U. J )
73, 6eleqtrd 2519 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. U. J )
8 simp3 990 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> -. x e. c )
9 eqid 2443 . . . . . 6 |- U. J = U. J
109regsep2 18992 . . . . 5 |- ( ( J e. Reg /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. U. J /\ -. x e. c ) ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1220 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
12113expia 1189 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) ) -> ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
1312ralrimivva 2820 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
14 topontop 18543 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
1514adantr 465 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
165adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> X = U. J )
1716difeq1d 3485 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) = ( U. J \ y ) )
189opncld 18649 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
1914, 18sylan 471 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
2017, 19eqeltrd 2517 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
21 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( X \ y ) -> ( x e. c <-> x e. ( X \ y ) ) )
2221notbid 294 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( X \ y ) -> ( -. x e. c <-> -. x e. ( X \ y ) ) )
23 eldif 3350 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X \ y ) <-> ( x e. X /\ -. x e. y ) )
2423baibr 897 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( -. x e. y <-> x e. ( X \ y ) ) )
2524con1bid 330 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X -> ( -. x e. ( X \ y ) <-> x e. y ) )
2622, 25sylan9bb 699 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( -. x e. c <-> x e. y ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> c = ( X \ y ) )
2827sseq1d 3395 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( c C_ o <-> ( X \ y ) C_ o ) )
29283anbi1d 1293 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
30292rexbidv 2770 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 320 . . . . . . . . 9 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2743 . . . . . . . 8 |- ( c = ( X \ y ) -> ( A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3332rspcv 3081 . . . . . . 7 |- ( ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3420, 33syl 16 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
35 ralcom3 2898 . . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
36 toponss 18546 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> y C_ X )
3736sselda 3368 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> x e. X )
38 simprr2 1037 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> x e. p )
395ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> X = U. J )
4039difeq1d 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) = ( U. J \ o ) )
4114ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
42 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> o e. J )
439opncld 18649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4540, 44eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
46 incom 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p i^i o ) = ( o i^i p )
47 simprr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( o i^i p ) = (/) )
4846, 47syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( p i^i o ) = (/) )
49 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
50 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p e. J )
51 toponss 18546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ p e. J ) -> p C_ X )
5249, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ X )
53 reldisj 3734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p C_ X -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5548, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ ( X \ o ) )
569clsss2 18688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) /\ p C_ ( X \ o ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
5745, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
58 simprr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ y ) C_ o )
59 difcom 3775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X \ y ) C_ o <-> ( X \ o ) C_ y )
6058, 59sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) C_ y )
6157, 60sstrd 3378 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y )
6238, 61jca 532 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
6362expr 615 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( o e. J /\ p e. J ) ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6463anassrs 648 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) /\ p e. J ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6564reximdva 2840 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) -> ( E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6665rexlimdva 2853 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6737, 66embantd 54 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6867ralimdva 2806 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6935, 68syl5bi 217 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7034, 69syld 44 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7170ralrimdva 2818 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7271imp 429 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
73 isreg 18948 . . 3 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 664 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Reg )
7513, 74impbida 828 1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   \ cdif 3337   i^i cin 3339   C_ wss 3340   (/)c0 3649   U.cuni 4103   ` cfv 5430   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   Clsdccld 18632   clsccl 18634   Regcreg 18925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-top 18515  df-topon 18518  df-cld 18635  df-cls 18637  df-reg 18932
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