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Theorem isreg2 20045
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:   o, c, p, x, J   X, c, o, p, x
Proof of Theorem isreg2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 1019 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. Reg )
2 simp2l 1020 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> c e. ( Clsd ` J ) )
3 simp2r 1021 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. X )
4 simp1l 1018 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5 toponuni 19595 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
64, 5syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> X = U. J )
73, 6eleqtrd 2544 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> x e. U. J )
8 simp3 996 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> -. x e. c )
9 eqid 2454 . . . . . 6 |- U. J = U. J
109regsep2 20044 . . . . 5 |- ( ( J e. Reg /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. U. J /\ -. x e. c ) ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) /\ -. x e. c ) -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) )
12113expia 1196 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ x e. X ) ) -> ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
1312ralrimivva 2875 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
14 topontop 19594 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
1514adantr 463 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
165adantr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> X = U. J )
1716difeq1d 3607 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) = ( U. J \ y ) )
189opncld 19701 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
1914, 18sylan 469 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
2017, 19eqeltrd 2542 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
21 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( X \ y ) -> ( x e. c <-> x e. ( X \ y ) ) )
2221notbid 292 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( X \ y ) -> ( -. x e. c <-> -. x e. ( X \ y ) ) )
23 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X \ y ) <-> ( x e. X /\ -. x e. y ) )
2423baibr 902 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( -. x e. y <-> x e. ( X \ y ) ) )
2524con1bid 328 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X -> ( -. x e. ( X \ y ) <-> x e. y ) )
2622, 25sylan9bb 697 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( -. x e. c <-> x e. y ) )
27 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> c = ( X \ y ) )
2827sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( c C_ o <-> ( X \ y ) C_ o ) )
29283anbi1d 1301 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
30292rexbidv 2972 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) <-> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 318 . . . . . . . . 9 |- ( ( c = ( X \ y ) /\ x e. X ) -> ( ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2890 . . . . . . . 8 |- ( c = ( X \ y ) -> ( A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3332rspcv 3203 . . . . . . 7 |- ( ( X \ y ) e. ( Clsd ` J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
3420, 33syl 16 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
35 ralcom3 3020 . . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) <-> A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) )
36 toponss 19597 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> y C_ X )
3736sselda 3489 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> x e. X )
38 simprr2 1043 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> x e. p )
395ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> X = U. J )
4039difeq1d 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) = ( U. J \ o ) )
4114ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
42 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> o e. J )
439opncld 19701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4441, 42, 43syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( U. J \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
4540, 44eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
46 incom 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p i^i o ) = ( o i^i p )
47 simprr3 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( o i^i p ) = (/) )
4846, 47syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( p i^i o ) = (/) )
49 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
50 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p e. J )
51 toponss 19597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ p e. J ) -> p C_ X )
5249, 50, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ X )
53 reldisj 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p C_ X -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( p i^i o ) = (/) <-> p C_ ( X \ o ) ) )
5548, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> p C_ ( X \ o ) )
569clsss2 19740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) /\ p C_ ( X \ o ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
5745, 55, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ ( X \ o ) )
58 simprr1 1042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ y ) C_ o )
59 difcom 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X \ y ) C_ o <-> ( X \ o ) C_ y )
6058, 59sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( X \ o ) C_ y )
6157, 60sstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y )
6238, 61jca 530 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( ( o e. J /\ p e. J ) /\ ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
6362expr 613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ ( o e. J /\ p e. J ) ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6463anassrs 646 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) /\ p e. J ) -> ( ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6564reximdva 2929 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) /\ o e. J ) -> ( E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6665rexlimdva 2946 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6737, 66embantd 54 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) /\ x e. y ) -> ( ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6867ralimdva 2862 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. y ( x e. X -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
6935, 68syl5bi 217 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. x e. X ( x e. y -> E. o e. J E. p e. J ( ( X \ y ) C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7034, 69syld 44 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7170ralrimdva 2872 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7271imp 427 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) )
73 isreg 20000 . . 3 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. y e. J A. x e. y E. p e. J ( x e. p /\ ( ( cls ` J ) ` p ) C_ y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 662 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) -> J e. Reg )
7513, 74impbida 830 1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Reg <-> A. c e. ( Clsd ` J ) A. x e. X ( -. x e. c -> E. o e. J E. p e. J ( c C_ o /\ x e. p /\ ( o i^i p ) = (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   \ cdif 3458   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   U.cuni 4235   ` cfv 5570   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   Clsdccld 19684   clsccl 19686   Regcreg 19977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-top 19566  df-topon 19569  df-cld 19687  df-cls 19689  df-reg 19984
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