Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  israg Structured version   Unicode version

Theorem israg 23779
 Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p
israg.d
israg.i Itv
israg.l LineG
israg.s pInvG
israg.g TarskiG
israg.a
israg.b
israg.c
Assertion
Ref Expression
israg ∟G

Proof of Theorem israg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 israg.a . . . 4
2 israg.b . . . 4
3 israg.c . . . 4
41, 2, 3s3cld 12792 . . 3 Word
5 fveq2 5864 . . . . . 6
65eqeq1d 2469 . . . . 5
7 fveq1 5863 . . . . . . 7
8 fveq1 5863 . . . . . . 7
97, 8oveq12d 6300 . . . . . 6
10 fveq1 5863 . . . . . . . . 9
1110fveq2d 5868 . . . . . . . 8
1211, 8fveq12d 5870 . . . . . . 7
137, 12oveq12d 6300 . . . . . 6
149, 13eqeq12d 2489 . . . . 5
156, 14anbi12d 710 . . . 4
1615elrab3 3262 . . 3 Word Word
174, 16syl 16 . 2 Word
18 df-rag 23776 . . . . 5 ∟G Word pInvG
1918a1i 11 . . . 4 ∟G Word pInvG
20 simpr 461 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5868 . . . . . . 7
22 israg.p . . . . . . 7
2321, 22syl6eqr 2526 . . . . . 6
24 wrdeq 12524 . . . . . 6 Word Word
2523, 24syl 16 . . . . 5 Word Word
26 biidd 237 . . . . . 6
2720fveq2d 5868 . . . . . . . . 9
28 israg.d . . . . . . . . 9
2927, 28syl6eqr 2526 . . . . . . . 8
3029oveqd 6299 . . . . . . 7
31 eqidd 2468 . . . . . . . 8
3220fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11 pInvG pInvG
33 israg.s . . . . . . . . . . 11 pInvG
3432, 33syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10 pInvG
35 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
3634, 35fveq12d 5870 . . . . . . . . 9 pInvG
37 eqidd 2468 . . . . . . . . 9
3836, 37fveq12d 5870 . . . . . . . 8 pInvG
3929, 31, 38oveq123d 6303 . . . . . . 7 pInvG
4030, 39eqeq12d 2489 . . . . . 6 pInvG
4126, 40anbi12d 710 . . . . 5 pInvG
4225, 41rabeqbidv 3108 . . . 4 Word pInvG Word
43 israg.g . . . . 5 TarskiG
44 elex 3122 . . . . 5 TarskiG
4543, 44syl 16 . . . 4
46 fvex 5874 . . . . . . . 8
4722, 46eqeltri 2551 . . . . . . 7
48 wrdexg 12517 . . . . . . 7 Word
4947, 48ax-mp 5 . . . . . 6 Word
5049rabex 4598 . . . . 5 Word
5150a1i 11 . . . 4 Word
5219, 42, 45, 51fvmptd 5953 . . 3 ∟G Word
5352eleq2d 2537 . 2 ∟G Word
54 s3fv0 12810 . . . . . . 7
551, 54syl 16 . . . . . 6
5655eqcomd 2475 . . . . 5
57 s3fv2 12812 . . . . . . 7
583, 57syl 16 . . . . . 6
5958eqcomd 2475 . . . . 5
6056, 59oveq12d 6300 . . . 4
61 s3fv1 12811 . . . . . . . . 9
622, 61syl 16 . . . . . . . 8
6362eqcomd 2475 . . . . . . 7
6463fveq2d 5868 . . . . . 6
6564, 59fveq12d 5870 . . . . 5
6656, 65oveq12d 6300 . . . 4
6760, 66eqeq12d 2489 . . 3
68 s3len 12813 . . . . 5
6968a1i 11 . . . 4
7069biantrurd 508 . . 3
7167, 70bitrd 253 . 2
7217, 53, 713bitr4d 285 1 ∟G
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818  cvv 3113   cmpt 4505  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc0 9488  c1 9489  c2 10581  c3 10582  chash 12367  Word cword 12494  cs3 12764  cbs 14483  cds 14557  TarskiGcstrkg 23550  Itvcitv 23557  LineGclng 23558  pInvGcmir 23743  ∟Gcrag 23775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-concat 12504  df-s1 12505  df-s2 12770  df-s3 12771  df-rag 23776 This theorem is referenced by:  ragcom  23780  ragcol  23781  ragmir  23782  mirrag  23783  ragtrivb  23784  ragflat2  23785  ragflat  23786  ragcgr  23789  footex  23800  colperpexlem1  23806  colperpexlem3  23808  mideulem  23810  lmiisolem  23835  hypcgrlem1  23838  hypcgrlem2  23839
 Copyright terms: Public domain W3C validator