MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isr0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isr0 20752
Description: The property " J is an R0 space". A space is R0 if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains  x also contains  y, so there is no separation, then  x and  y are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R0 if and only if its Kolmogorov quotient is T1, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
isr0  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    w, o, x, y, z, J    o, F, w, z    o, X, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem isr0
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqid 20743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
32ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
4 cnima 20281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
53, 4sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
6 eleq2 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
7 eleq2 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
86, 7imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
98rspcv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " v )  e.  J  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
105, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
111kqffn 20740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
1211ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  Fn  X )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
14 fnfun 5673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  Fun  F )
16 simprl 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  X )
18 fndm 5675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  dom  F  =  X )
2017, 19eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  dom  F )
21 fvimacnv 5997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  v  <-> 
z  e.  ( `' F " v ) ) )
2215, 20, 21syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
23 simprr 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
2423adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  X )
2524, 19eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  dom  F )
26 fvimacnv 5997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  w )  e.  v  <-> 
w  e.  ( `' F " v ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  w )  e.  v  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
2822, 27imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( (
( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  <-> 
( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
2910, 28sylibrd 238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
3029ralrimdva 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
31 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Fre )
32 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  ran  F
)
3312, 16, 32syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
341kqtopon 20742 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
3534ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
36 toponuni 19942 . . . . . . . . 9  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3833, 37eleqtrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  U. (KQ `  J ) )
39 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w
)  e.  ran  F
)
4012, 23, 39syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ran  F
)
4140, 37eleqtrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  U. (KQ `  J ) )
42 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
4342t1sep2 20385 . . . . . . 7  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Fre  /\  ( F `  z )  e.  U. (KQ `  J
)  /\  ( F `  w )  e.  U. (KQ `  J ) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4431, 38, 41, 43syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4530, 44syld 45 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
461kqfeq 20739 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) ) )
47 eleq2 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  y ) )
48 eleq2 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  y ) )
4947, 48bibi12d 323 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  <-> 
( z  e.  y  <-> 
w  e.  y ) ) )
5049cbvralv 3019 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) )
5146, 50syl6bbr 267 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
52513expb 1209 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5352adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o ) ) )
5445, 53sylibd 218 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5554ralrimivva 2809 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5655ex 436 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
57 simpll 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
581kqopn 20749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
5957, 58sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
60 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  z
)  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
61 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  w
)  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
6260, 61imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6362rspcv 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " o )  e.  (KQ `  J
)  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6459, 63syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F
" o )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" o ) ) ) )
651kqfvima 20745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
66653expa 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6766an32s 813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6867adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
691kqfvima 20745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
70693expa 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7170an32s 813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7271adantllr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7368, 72imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
7464, 73sylibrd 238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )
) )
7574ralrimdva 2806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o ) ) )
761kqfval 20738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
7776adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
781kqfval 20738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
7978adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
8077, 79eqeq12d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
) )
81 rabbi 2969 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  J  (
z  e.  y  <->  w  e.  y )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8250, 81bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8380, 82syl6bbr 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
8483biimprd 227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
8575, 84imim12d 77 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8685ralimdva 2796 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8786ralimdva 2796 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
88 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  v ) )
8988imbi1d 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
9089ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
91 eqeq1 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  =  b  <->  ( F `  z )  =  b ) )
9290, 91imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9392ralbidv 2827 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9493ralrn 6025 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
95 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
b  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  v ) )
9695imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
9796ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
98 eqeq2 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  =  b  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
9997, 98imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10099ralrn 6025 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
101100ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10294, 101bitrd 257 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10311, 102syl 17 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10487, 103sylibrd 238 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
105 ist1-2 20363 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
10634, 105syl 17 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
107104, 106sylibrd 238 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Fre ) )
10856, 107impbid 194 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   U.cuni 4198    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240   Frect1 20323  KQckq 20708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-topgen 15342  df-qtop 15406  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-cn 20243  df-t1 20330  df-kq 20709
This theorem is referenced by:  r0sep  20763
  Copyright terms: Public domain W3C validator