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Theorem isr0 20829
Description: The property " J is an R0 space". A space is R0 if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains  x also contains  y, so there is no separation, then  x and  y are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R0 if and only if its Kolmogorov quotient is T1, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
isr0  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    w, o, x, y, z, J    o, F, w, z    o, X, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem isr0
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqid 20820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
32ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
4 cnima 20358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
53, 4sylan 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
6 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
7 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
86, 7imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
98rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " v )  e.  J  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
105, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
111kqffn 20817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
1211ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  Fn  X )
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
14 fnfun 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  Fun  F )
16 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
1716adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  X )
18 fndm 5685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  dom  F  =  X )
2017, 19eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  dom  F )
21 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  v  <-> 
z  e.  ( `' F " v ) ) )
2215, 20, 21syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
23 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
2423adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  X )
2524, 19eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  dom  F )
26 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  w )  e.  v  <-> 
w  e.  ( `' F " v ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  w )  e.  v  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
2822, 27imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( (
( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  <-> 
( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
2910, 28sylibrd 242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
3029ralrimdva 2812 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
31 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Fre )
32 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  ran  F
)
3312, 16, 32syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
341kqtopon 20819 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
3534ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
36 toponuni 20019 . . . . . . . . 9  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3833, 37eleqtrd 2551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  U. (KQ `  J ) )
39 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w
)  e.  ran  F
)
4012, 23, 39syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ran  F
)
4140, 37eleqtrd 2551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  U. (KQ `  J ) )
42 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
4342t1sep2 20462 . . . . . . 7  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Fre  /\  ( F `  z )  e.  U. (KQ `  J
)  /\  ( F `  w )  e.  U. (KQ `  J ) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4431, 38, 41, 43syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4530, 44syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
461kqfeq 20816 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) ) )
47 eleq2 2538 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  y ) )
48 eleq2 2538 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  y ) )
4947, 48bibi12d 328 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  <-> 
( z  e.  y  <-> 
w  e.  y ) ) )
5049cbvralv 3005 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) )
5146, 50syl6bbr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
52513expb 1232 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5352adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o ) ) )
5445, 53sylibd 222 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5554ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5655ex 441 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
57 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
581kqopn 20826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
5957, 58sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
60 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  z
)  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
61 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  w
)  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
6260, 61imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6362rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " o )  e.  (KQ `  J
)  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6459, 63syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F
" o )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" o ) ) ) )
651kqfvima 20822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
66653expa 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6766an32s 821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6867adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
691kqfvima 20822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
70693expa 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7170an32s 821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7271adantllr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7368, 72imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
7464, 73sylibrd 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )
) )
7574ralrimdva 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o ) ) )
761kqfval 20815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
7776adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
781kqfval 20815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
7978adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
8077, 79eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
) )
81 rabbi 2955 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  J  (
z  e.  y  <->  w  e.  y )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8250, 81bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8380, 82syl6bbr 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
8483biimprd 231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
8575, 84imim12d 76 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8685ralimdva 2805 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8786ralimdva 2805 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
88 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  v ) )
8988imbi1d 324 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
9089ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
91 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  =  b  <->  ( F `  z )  =  b ) )
9290, 91imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9392ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9493ralrn 6040 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
95 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
b  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  v ) )
9695imbi2d 323 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
9796ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
98 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  =  b  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
9997, 98imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10099ralrn 6040 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
101100ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10294, 101bitrd 261 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10311, 102syl 17 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10487, 103sylibrd 242 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
105 ist1-2 20440 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
10634, 105syl 17 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
107104, 106sylibrd 242 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Fre ) )
10856, 107impbid 195 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317   Frect1 20400  KQckq 20785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-topgen 15420  df-qtop 15484  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-t1 20407  df-kq 20786
This theorem is referenced by:  r0sep  20840
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