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Theorem isr0 19322
Description: The property " J is an R0 space". A space is R0 if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains  x also contains  y, so there is no separation, then  x and  y are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R0 if and only if its Kolmogorov quotient is T1, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
isr0  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    w, o, x, y, z, J    o, F, w, z    o, X, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem isr0
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqid 19313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
4 cnima 18881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
53, 4sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
6 eleq2 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
7 eleq2 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
86, 7imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
98rspcv 3081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " v )  e.  J  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
105, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
111kqffn 19310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  Fn  X )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
14 fnfun 5520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  Fun  F )
16 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  X )
18 fndm 5522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  dom  F  =  X )
2017, 19eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  dom  F )
21 fvimacnv 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  v  <-> 
z  e.  ( `' F " v ) ) )
2215, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
23 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  X )
2524, 19eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  dom  F )
26 fvimacnv 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  w )  e.  v  <-> 
w  e.  ( `' F " v ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  w )  e.  v  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
2822, 27imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( (
( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  <-> 
( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
2910, 28sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
3029ralrimdva 2818 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
31 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Fre )
32 fnfvelrn 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  ran  F
)
3312, 16, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
341kqtopon 19312 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
36 toponuni 18544 . . . . . . . . 9  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3833, 37eleqtrd 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  U. (KQ `  J ) )
39 fnfvelrn 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w
)  e.  ran  F
)
4012, 23, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ran  F
)
4140, 37eleqtrd 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  U. (KQ `  J ) )
42 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
4342t1sep2 18985 . . . . . . 7  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Fre  /\  ( F `  z )  e.  U. (KQ `  J
)  /\  ( F `  w )  e.  U. (KQ `  J ) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4431, 38, 41, 43syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4530, 44syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
461kqfeq 19309 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) ) )
47 eleq2 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  y ) )
48 eleq2 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  y ) )
4947, 48bibi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  <-> 
( z  e.  y  <-> 
w  e.  y ) ) )
5049cbvralv 2959 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) )
5146, 50syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
52513expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5352adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o ) ) )
5445, 53sylibd 214 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5554ralrimivva 2820 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5655ex 434 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
57 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
581kqopn 19319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
5957, 58sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
60 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  z
)  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
61 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  w
)  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
6260, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6362rspcv 3081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " o )  e.  (KQ `  J
)  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6459, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F
" o )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" o ) ) ) )
651kqfvima 19315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
66653expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6766an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6867adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
691kqfvima 19315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
70693expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7170an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7271adantllr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7368, 72imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
7464, 73sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )
) )
7574ralrimdva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o ) ) )
761kqfval 19308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
7776adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
781kqfval 19308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
7978adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
8077, 79eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
) )
81 rabbi 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  J  (
z  e.  y  <->  w  e.  y )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8250, 81bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8380, 82syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
8483biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
8575, 84imim12d 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8685ralimdva 2806 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8786ralimdva 2806 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
88 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  v ) )
8988imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
9089ralbidv 2747 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
91 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  =  b  <->  ( F `  z )  =  b ) )
9290, 91imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9392ralbidv 2747 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9493ralrn 5858 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
95 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
b  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  v ) )
9695imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
9796ralbidv 2747 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
98 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  =  b  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
9997, 98imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10099ralrn 5858 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
101100ralbidv 2747 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10294, 101bitrd 253 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10311, 102syl 16 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10487, 103sylibrd 234 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
105 ist1-2 18963 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
10634, 105syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
107104, 106sylibrd 234 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Fre ) )
10856, 107impbid 191 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731   U.cuni 4103    e. cmpt 4362   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855   Fun wfun 5424    Fn wfn 5425   ` cfv 5430  (class class class)co 6103  TopOnctopon 18511    Cn ccn 18840   Frect1 18923  KQckq 19278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-map 7228  df-topgen 14394  df-qtop 14457  df-top 18515  df-topon 18518  df-cld 18635  df-cn 18843  df-t1 18930  df-kq 19279
This theorem is referenced by:  r0sep  19333
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