Theorem isr0 20752

Description: The property " J is an R₀ space". A space is R₀ if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains x also contains y, so there is no separation, then x and y are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R₀ if and only if its Kolmogorov quotient is T₁, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	|- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )

Assertion

Ref	Expression
isr0	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, o, x, y, z, J   o, F, w, z   o, X, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem isr0

Dummy variables a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kqval.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
2	1	kqid 20743	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
3	2	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
4		cnima 20281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " v ) e. J )
5	3, 4	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " v ) e. J )
6		eleq2 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( z e. o <-> z e. ( `' F " v ) ) )
7		eleq2 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( w e. o <-> w e. ( `' F " v ) ) )
8	6, 7	imbi12d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( ( z e. o -> w e. o ) <-> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
9	8	rspcv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " v ) e. J -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
11	1	kqffn 20740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F Fn X )
12	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> F Fn X )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> F Fn X )
14		fnfun 5673	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> Fun F )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> Fun F )
16		simprl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> z e. X )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> z e. X )
18		fndm 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn X -> dom F = X )
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> dom F = X )
20	17, 19	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> z e. dom F )
21		fvimacnv 5997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> z e. ( `' F " v ) ) )
22	15, 20, 21	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> z e. ( `' F " v ) ) )
23		simprr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> w e. X )
24	23	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> w e. X )
25	24, 19	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> w e. dom F )
26		fvimacnv 5997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ w e. dom F ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> w e. ( `' F " v ) ) )
27	15, 25, 26	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> w e. ( `' F " v ) ) )
28	22, 27	imbi12d 322	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) <-> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
29	10, 28	sylibrd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
30	29	ralrimdva 2806	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
31		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre )
32		fnfvelrn 6019	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn X /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
33	12, 16, 32	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) e. ran F )
34	1	kqtopon 20742	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
35	34	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
36		toponuni 19942	. . . . . . . . 9 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ran F = U. (KQ ` J ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ran F = U. (KQ ` J ) )
38	33, 37	eleqtrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) e. U. (KQ ` J ) )
39		fnfvelrn 6019	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn X /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. ran F )
40	12, 23, 39	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) e. ran F )
41	40, 37	eleqtrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) e. U. (KQ ` J ) )
42		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- U. (KQ ` J ) = U. (KQ ` J )
43	42	t1sep2 20385	. . . . . . 7 |- ( ( (KQ ` J ) e. Fre /\ ( F ` z ) e. U. (KQ ` J ) /\ ( F ` w ) e. U. (KQ ` J ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
44	31, 38, 41, 43	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
45	30, 44	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
46	1	kqfeq 20739	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) ) )
47		eleq2 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( z e. o <-> z e. y ) )
48		eleq2 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( w e. o <-> w e. y ) )
49	47, 48	bibi12d 323	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( z e. o <-> w e. o ) <-> ( z e. y <-> w e. y ) ) )
50	49	cbvralv 3019	. . . . . . . 8 |- ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) <-> A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) )
51	46, 50	syl6bbr 267	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
52	51	3expb 1209	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
53	52	adantlr 721	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
54	45, 53	sylibd 218	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
55	54	ralrimivva 2809	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
56	55	ex 436	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre -> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )
57		simpll 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
58	1	kqopn 20749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) -> ( F " o ) e. (KQ ` J ) )
59	57, 58	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( F " o ) e. (KQ ` J ) )
60		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
61		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
62	60, 61	imbi12d 322	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
63	62	rspcv 3146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " o ) e. (KQ ` J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
64	59, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
65	1	kqfvima 20745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J /\ z e. X ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
66	65	3expa 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) /\ z e. X ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
67	66	an32s 813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ o e. J ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
68	67	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
69	1	kqfvima 20745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J /\ w e. X ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
70	69	3expa 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) /\ w e. X ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
71	70	an32s 813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
72	71	adantllr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
73	68, 72	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( z e. o -> w e. o ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
74	64, 73	sylibrd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( z e. o -> w e. o ) ) )
75	74	ralrimdva 2806	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) ) )
76	1	kqfval 20738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = { y e. J | z e. y } )
77	76	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( F ` z ) = { y e. J | z e. y } )
78	1	kqfval 20738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) = { y e. J | w e. y } )
79	78	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) = { y e. J | w e. y } )
80	77, 79	eqeq12d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } ) )
81		rabbi 2969	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } )
82	50, 81	bitri 253	. . . . . . . . 9 |- ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } )
83	80, 82	syl6bbr 267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
84	83	biimprd 227	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
85	75, 84	imim12d 77	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
86	85	ralimdva 2796	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) -> ( A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
87	86	ralimdva 2796	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
88		eleq1 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a e. v <-> ( F ` z ) e. v ) )
89	88	imbi1d 319	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( a e. v -> b e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) ) )
90	89	ralbidv 2827	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( F ` z ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) <-> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) ) )
91		eqeq1 2455	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a = b <-> ( F ` z ) = b ) )
92	90, 91	imbi12d 322	. . . . . . . 8 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
93	92	ralbidv 2827	. . . . . . 7 |- ( a = ( F ` z ) -> ( A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
94	93	ralrn 6025	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
95		eleq1 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( F ` w ) -> ( b e. v <-> ( F ` w ) e. v ) )
96	95	imbi2d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
97	96	ralbidv 2827	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( F ` w ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) <-> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
98		eqeq2 2462	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( F ` z ) = b <-> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
99	97, 98	imbi12d 322	. . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
100	99	ralrn 6025	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
101	100	ralbidv 2827	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. z e. X A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
102	94, 101	bitrd 257	. . . . 5 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
103	11, 102	syl 17	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
104	87, 103	sylibrd 238	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
105		ist1-2 20363	. . . 4 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
106	34, 105	syl 17	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
107	104, 106	sylibrd 238	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre ) )
108	56, 107	impbid 194	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   U.cuni 4198   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  TopOnctopon 19918   Cn ccn 20240   Frect1 20323  KQckq 20708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-topgen 15342  df-qtop 15406  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-cn 20243  df-t1 20330  df-kq 20709

This theorem is referenced by:  r0sep  20763