Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isr0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isr0 20829
 Description: The property " is an R0 space". A space is R0 if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains also contains , so there is no separation, then and are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R0 if and only if its Kolmogorov quotient is T1, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
isr0 TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isr0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . . . 12
21kqid 20820 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ
32ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
4 cnima 20358 . . . . . . . . . 10 KQ KQ
53, 4sylan 479 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
6 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11
7 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11
86, 7imbi12d 327 . . . . . . . . . 10
98rspcv 3132 . . . . . . . . 9
105, 9syl 17 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
111kqffn 20817 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
1211ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 TopOn KQ
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
14 fnfun 5683 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
16 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12 TopOn KQ
1716adantr 472 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
18 fndm 5685 . . . . . . . . . . . 12
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
2017, 19eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
21 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . 10
2215, 20, 21syl2anc 673 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
23 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12 TopOn KQ
2423adantr 472 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
2524, 19eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
26 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . 10
2715, 25, 26syl2anc 673 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
2822, 27imbi12d 327 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
2910, 28sylibrd 242 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
3029ralrimdva 2812 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
31 simplr 770 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
32 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . 9
3312, 16, 32syl2anc 673 . . . . . . . 8 TopOn KQ
341kqtopon 20819 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ TopOn
3534ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ TopOn
36 toponuni 20019 . . . . . . . . 9 KQ TopOn KQ
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
3833, 37eleqtrd 2551 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
39 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . 9
4012, 23, 39syl2anc 673 . . . . . . . 8 TopOn KQ
4140, 37eleqtrd 2551 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
42 eqid 2471 . . . . . . . 8 KQ KQ
4342t1sep2 20462 . . . . . . 7 KQ KQ KQ KQ
4431, 38, 41, 43syl3anc 1292 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
4530, 44syld 44 . . . . 5 TopOn KQ
461kqfeq 20816 . . . . . . . 8 TopOn
47 eleq2 2538 . . . . . . . . . 10
48 eleq2 2538 . . . . . . . . . 10
4947, 48bibi12d 328 . . . . . . . . 9
5049cbvralv 3005 . . . . . . . 8
5146, 50syl6bbr 271 . . . . . . 7 TopOn
52513expb 1232 . . . . . 6 TopOn
5352adantlr 729 . . . . 5 TopOn KQ
5445, 53sylibd 222 . . . 4 TopOn KQ
5554ralrimivva 2814 . . 3 TopOn KQ
5655ex 441 . 2 TopOn KQ
57 simpll 768 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
581kqopn 20826 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ
5957, 58sylan 479 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ
60 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
61 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11
6362rspcv 3132 . . . . . . . . . 10 KQ KQ
6459, 63syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn KQ
651kqfvima 20822 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
66653expa 1231 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6766an32s 821 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6867adantlr 729 . . . . . . . . . 10 TopOn
691kqfvima 20822 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
70693expa 1231 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
7170an32s 821 . . . . . . . . . . 11 TopOn
7271adantllr 733 . . . . . . . . . 10 TopOn
7368, 72imbi12d 327 . . . . . . . . 9 TopOn
7464, 73sylibrd 242 . . . . . . . 8 TopOn KQ
7574ralrimdva 2812 . . . . . . 7 TopOn KQ
761kqfval 20815 . . . . . . . . . . 11 TopOn
7776adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
781kqfval 20815 . . . . . . . . . . 11 TopOn
7978adantlr 729 . . . . . . . . . 10 TopOn
8077, 79eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9 TopOn
81 rabbi 2955 . . . . . . . . . 10
8250, 81bitri 257 . . . . . . . . 9
8380, 82syl6bbr 271 . . . . . . . 8 TopOn
8483biimprd 231 . . . . . . 7 TopOn
8575, 84imim12d 76 . . . . . 6 TopOn KQ
8685ralimdva 2805 . . . . 5 TopOn KQ
8786ralimdva 2805 . . . 4 TopOn KQ
88 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11
8988imbi1d 324 . . . . . . . . . 10
9089ralbidv 2829 . . . . . . . . 9 KQ KQ
91 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9
9290, 91imbi12d 327 . . . . . . . 8 KQ KQ
9392ralbidv 2829 . . . . . . 7 KQ KQ
9493ralrn 6040 . . . . . 6 KQ KQ
95 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11
9695imbi2d 323 . . . . . . . . . 10
9796ralbidv 2829 . . . . . . . . 9 KQ KQ
98 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9
9997, 98imbi12d 327 . . . . . . . 8 KQ KQ
10099ralrn 6040 . . . . . . 7 KQ KQ
101100ralbidv 2829 . . . . . 6 KQ KQ
10294, 101bitrd 261 . . . . 5 KQ KQ
10311, 102syl 17 . . . 4 TopOn KQ KQ
10487, 103sylibrd 242 . . 3 TopOn KQ
105 ist1-2 20440 . . . 4 KQ TopOn KQ KQ
10634, 105syl 17 . . 3 TopOn KQ KQ
107104, 106sylibrd 242 . 2 TopOn KQ
10856, 107impbid 195 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cuni 4190   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   wfun 5583   wfn 5584  cfv 5589  (class class class)co 6308  TopOnctopon 19995   ccn 20317  ct1 20400  KQckq 20785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-topgen 15420  df-qtop 15484  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-t1 20407  df-kq 20786 This theorem is referenced by:  r0sep  20840
 Copyright terms: Public domain W3C validator