Theorem isr0 20829

Description: The property " J is an R₀ space". A space is R₀ if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains x also contains y, so there is no separation, then x and y are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R₀ if and only if its Kolmogorov quotient is T₁, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	|- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )

Assertion

Ref	Expression
isr0	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, o, x, y, z, J   o, F, w, z   o, X, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem isr0

Dummy variables a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kqval.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
2	1	kqid 20820	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
3	2	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
4		cnima 20358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " v ) e. J )
5	3, 4	sylan 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " v ) e. J )
6		eleq2 2538	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( z e. o <-> z e. ( `' F " v ) ) )
7		eleq2 2538	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( w e. o <-> w e. ( `' F " v ) ) )
8	6, 7	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( ( z e. o -> w e. o ) <-> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
9	8	rspcv 3132	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " v ) e. J -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
11	1	kqffn 20817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F Fn X )
12	11	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> F Fn X )
13	12	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> F Fn X )
14		fnfun 5683	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> Fun F )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> Fun F )
16		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> z e. X )
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> z e. X )
18		fndm 5685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn X -> dom F = X )
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> dom F = X )
20	17, 19	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> z e. dom F )
21		fvimacnv 6012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> z e. ( `' F " v ) ) )
22	15, 20, 21	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> z e. ( `' F " v ) ) )
23		simprr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> w e. X )
24	23	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> w e. X )
25	24, 19	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> w e. dom F )
26		fvimacnv 6012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ w e. dom F ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> w e. ( `' F " v ) ) )
27	15, 25, 26	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> w e. ( `' F " v ) ) )
28	22, 27	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) <-> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
29	10, 28	sylibrd 242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
30	29	ralrimdva 2812	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
31		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre )
32		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn X /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
33	12, 16, 32	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) e. ran F )
34	1	kqtopon 20819	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
35	34	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
36		toponuni 20019	. . . . . . . . 9 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ran F = U. (KQ ` J ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ran F = U. (KQ ` J ) )
38	33, 37	eleqtrd 2551	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) e. U. (KQ ` J ) )
39		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn X /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. ran F )
40	12, 23, 39	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) e. ran F )
41	40, 37	eleqtrd 2551	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) e. U. (KQ ` J ) )
42		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- U. (KQ ` J ) = U. (KQ ` J )
43	42	t1sep2 20462	. . . . . . 7 |- ( ( (KQ ` J ) e. Fre /\ ( F ` z ) e. U. (KQ ` J ) /\ ( F ` w ) e. U. (KQ ` J ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
44	31, 38, 41, 43	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
45	30, 44	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
46	1	kqfeq 20816	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) ) )
47		eleq2 2538	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( z e. o <-> z e. y ) )
48		eleq2 2538	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( w e. o <-> w e. y ) )
49	47, 48	bibi12d 328	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( z e. o <-> w e. o ) <-> ( z e. y <-> w e. y ) ) )
50	49	cbvralv 3005	. . . . . . . 8 |- ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) <-> A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) )
51	46, 50	syl6bbr 271	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
52	51	3expb 1232	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
53	52	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
54	45, 53	sylibd 222	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
55	54	ralrimivva 2814	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
56	55	ex 441	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre -> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )
57		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
58	1	kqopn 20826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) -> ( F " o ) e. (KQ ` J ) )
59	57, 58	sylan 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( F " o ) e. (KQ ` J ) )
60		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
61		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
62	60, 61	imbi12d 327	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
63	62	rspcv 3132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " o ) e. (KQ ` J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
64	59, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
65	1	kqfvima 20822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J /\ z e. X ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
66	65	3expa 1231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) /\ z e. X ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
67	66	an32s 821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ o e. J ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
68	67	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
69	1	kqfvima 20822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J /\ w e. X ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
70	69	3expa 1231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) /\ w e. X ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
71	70	an32s 821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
72	71	adantllr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
73	68, 72	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( z e. o -> w e. o ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
74	64, 73	sylibrd 242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( z e. o -> w e. o ) ) )
75	74	ralrimdva 2812	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) ) )
76	1	kqfval 20815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = { y e. J | z e. y } )
77	76	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( F ` z ) = { y e. J | z e. y } )
78	1	kqfval 20815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) = { y e. J | w e. y } )
79	78	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) = { y e. J | w e. y } )
80	77, 79	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } ) )
81		rabbi 2955	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } )
82	50, 81	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } )
83	80, 82	syl6bbr 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
84	83	biimprd 231	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
85	75, 84	imim12d 76	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
86	85	ralimdva 2805	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) -> ( A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
87	86	ralimdva 2805	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
88		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a e. v <-> ( F ` z ) e. v ) )
89	88	imbi1d 324	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( a e. v -> b e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) ) )
90	89	ralbidv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( F ` z ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) <-> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) ) )
91		eqeq1 2475	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a = b <-> ( F ` z ) = b ) )
92	90, 91	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
93	92	ralbidv 2829	. . . . . . 7 |- ( a = ( F ` z ) -> ( A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
94	93	ralrn 6040	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
95		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( F ` w ) -> ( b e. v <-> ( F ` w ) e. v ) )
96	95	imbi2d 323	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
97	96	ralbidv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( F ` w ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) <-> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
98		eqeq2 2482	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( F ` z ) = b <-> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
99	97, 98	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
100	99	ralrn 6040	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
101	100	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. z e. X A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
102	94, 101	bitrd 261	. . . . 5 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
103	11, 102	syl 17	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
104	87, 103	sylibrd 242	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
105		ist1-2 20440	. . . 4 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
106	34, 105	syl 17	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
107	104, 106	sylibrd 242	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre ) )
108	56, 107	impbid 195	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   U.cuni 4190   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317   Frect1 20400  KQckq 20785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-topgen 15420  df-qtop 15484  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-t1 20407  df-kq 20786

This theorem is referenced by:  r0sep  20840