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Theorem ispsubsp2 35867
Description: The predicate "is a projective subspace". (Contributed by NM, 13-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
psubspset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
psubspset.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
psubspset.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
psubspset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
ispsubsp2  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    q, p, r, K    X, p, q, r    A, p, q
Allowed substitution hints:    D( r, q, p)    S( r, q, p)    .\/ ( r, q, p)    .<_ ( r, q, p)

Proof of Theorem ispsubsp2
StepHypRef Expression
1 psubspset.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 psubspset.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 psubspset.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 psubspset.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
51, 2, 3, 4ispsubsp 35866 . 2  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
6 ralcom 3015 . . . . . . 7  |-  ( A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  A. r  e.  X  ( p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
7 r19.23v 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. r  e.  X  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
87ralbii 2885 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  A  A. r  e.  X  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
96, 8bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
109ralbii 2885 . . . . 5  |-  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
11 ralcom 3015 . . . . . 6  |-  ( A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
12 r19.23v 2934 . . . . . . 7  |-  ( A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1312ralbii 2885 . . . . . 6  |-  ( A. p  e.  A  A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1411, 13bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1510, 14bitri 249 . . . 4  |-  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  D  ->  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q 
.\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X ) ) )
1716anbi2d 701 . 2  |-  ( K  e.  D  ->  (
( X  C_  A  /\  A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q 
.\/  r )  ->  p  e.  X )
)  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X
) ) ) )
185, 17bitrd 253 1  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   lecple 14791   joincjn 15772   Atomscatm 35385   PSubSpcpsubsp 35617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-psubsp 35624
This theorem is referenced by:  psubspi  35868  paddclN  35963
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