Theorem ispsubsp 17226

Description: The predicate "is a projective subspace".

Hypotheses

Ref	Expression
psubspset.l	|- L = (le` K)
psubspset.j	|- J = (join` K)
psubspset.a	|- A = (AtomsNEW` K)
psubspset.s	|- S = (PSubSp` K)

Assertion

Ref	Expression
ispsubsp	|- (K e. D -> (X e. S <-> (X C_ A /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X))))

Distinct variable groups:   A,r   q,p,r,K   X,p,q,r

Proof of Theorem ispsubsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psubspset.l	. . . 4 |- L = (le` K)
2		psubspset.j	. . . 4 |- J = (join` K)
3		psubspset.a	. . . 4 |- A = (AtomsNEW` K)
4		psubspset.s	. . . 4 |- S = (PSubSp` K)
5	1, 2, 3, 4	psubspset 17225	. . 3 |- (K e. D -> S = {x | (x C_ A /\ A.p e. x A.q e. x A.r e. A (rL(pJq) -> r e. x))})
6	5	eleq2d 1964	. 2 |- (K e. D -> (X e. S <-> X e. {x | (x C_ A /\ A.p e. x A.q e. x A.r e. A (rL(pJq) -> r e. x))}))
7		fvex 4689	. . . . . 6 |- (AtomsNEW` K) e. _V
8	3, 7	eqeltri 1967	. . . . 5 |- A e. _V
9	8	ssex 3455	. . . 4 |- (X C_ A -> X e. _V)
10	9	adantr 425	. . 3 |- ((X C_ A /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X)) -> X e. _V)
11		sseq1 2637	. . . 4 |- (x = X -> (x C_ A <-> X C_ A))
12		eleq2 1958	. . . . . . . 8 |- (x = X -> (r e. x <-> r e. X))
13	12	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (x = X -> ((rL(pJq) -> r e. x) <-> (rL(pJq) -> r e. X)))
14	13	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (x = X -> (A.r e. A (rL(pJq) -> r e. x) <-> A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X)))
15	14	raleqbi1dv 2271	. . . . 5 |- (x = X -> (A.q e. x A.r e. A (rL(pJq) -> r e. x) <-> A.q e. X A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X)))
16	15	raleqbi1dv 2271	. . . 4 |- (x = X -> (A.p e. x A.q e. x A.r e. A (rL(pJq) -> r e. x) <-> A.p e. X A.q e. X A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X)))
17	11, 16	anbi12d 690	. . 3 |- (x = X -> ((x C_ A /\ A.p e. x A.q e. x A.r e. A (rL(pJq) -> r e. x)) <-> (X C_ A /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X))))
18	10, 17	elab3 2412	. 2 |- (X e. {x | (x C_ A /\ A.p e. x A.q e. x A.r e. A (rL(pJq) -> r e. x))} <-> (X C_ A /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X)))
19	6, 18	syl6bb 595	1 |- (K e. D -> (X e. S <-> (X C_ A /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. A (rL(pJq) -> r e. X))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  lecple 16759  joincjn 16766  AtomsNEWcatm 16981  PSubSpcpsubsp 17213

This theorem is referenced by:  ispsubsp2 17227  0psub 17230  pointpsub 17231  linepsub 17232  atpsub 17233  psubssat 17234  pmapsub 17250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-psubsp 17217

Copyright terms: Public domain