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Theorem ispsmet 20022
Description: Express the predicate " D is a pseudometric." (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet  |-  ( X  e.  V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, X    x, D, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)

Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables  u  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3087 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
2 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  X  ->  u  =  X )
32, 2xpeq12d 4976 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  X  ->  (
u  X.  u )  =  ( X  X.  X ) )
43oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( u  =  X  ->  ( RR*  ^m  ( u  X.  u ) )  =  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) ) )
5 raleq 3023 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  X  ->  ( A. z  e.  u  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65raleqbi1dv 3031 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  X  ->  ( A. y  e.  u  A. z  e.  u  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
76anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  X  ->  (
( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  u  A. z  e.  u  ( x d y )  <_  (
( z d x ) +e ( z d y ) ) )  <->  ( (
x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 3031 . . . . . . 7  |-  ( u  =  X  ->  ( A. x  e.  u  ( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  u  A. z  e.  u  ( x d y )  <_  (
( z d x ) +e ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( (
x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 3073 . . . . . 6  |-  ( u  =  X  ->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
u  X.  u ) )  |  A. x  e.  u  ( (
x d x )  =  0  /\  A. y  e.  u  A. z  e.  u  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) }  =  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  ( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) ) } )
10 df-psmet 17944 . . . . . 6  |- PsMet  =  ( u  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  ( u  X.  u
) )  |  A. x  e.  u  (
( x d x )  =  0  /\ 
A. y  e.  u  A. z  e.  u  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6228 . . . . . . 7  |-  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  e.  _V
1211rabex 4554 . . . . . 6  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  ( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) ) }  e.  _V
139, 10, 12fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  (PsMet `  X )  =  {
d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  (
( x d x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (PsMet `  X )  =  {
d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  (
( x d x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2524 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  D  e.  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  ( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6209 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
x d x )  =  ( x D x ) )
1716eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d x )  =  0  <->  (
x D x )  =  0 ) )
18 oveq 6209 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
x d y )  =  ( x D y ) )
19 oveq 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d x )  =  ( z D x ) )
20 oveq 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d y )  =  ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( z d x ) +e ( z d y ) )  =  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2218, 21breq12d 4416 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) )  <-> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
23222ralbidv 2879 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2417, 23anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x ) +e ( z d y ) ) )  <->  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2524ralbidv 2846 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  X  ( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x ) +e ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3224 . . 3  |-  ( D  e.  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  ( ( x d x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) ) }  <-> 
( D  e.  (
RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( x D x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 261 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) ) ) )
28 xrex 11103 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
29 xpexg 6620 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
3029anidms 645 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
31 elmapg 7340 . . . 4  |-  ( (
RR*  e.  _V  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V )  ->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR* ) )
3228, 30, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR* ) )
3332anbi1d 704 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  (
( D  e.  (
RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( x D x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  (
( x D x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 253 1  |-  ( X  e.  V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   0cc0 9397   RR*cxr 9532    <_ cle 9534   +ecxad 11202  PsMetcpsmet 17935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-xr 9537  df-psmet 17944
This theorem is referenced by:  psmetdmdm  20023  psmetf  20024  psmet0  20026  psmettri2  20027  psmetres2  20032  xmetpsmet  20065
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