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Theorem isprs 15758
Description: Property of being a preordered set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isprs.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isprs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isprs  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isprs
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
2 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
32sbceq1d 3329 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
41, 3sbceqbid 3331 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
5 fvex 5858 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
6 fvex 5858 . . . 4  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
7 isprs.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqtr3 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  B  =  ( Base `  K
) )  ->  b  =  B )
97, 8mpan2 669 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  b  =  B )
10 raleq 3051 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1110raleqbi1dv 3059 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1211raleqbi1dv 3059 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
139, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
14 isprs.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
15 eqtr3 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  .<_  =  ( le `  K ) )  -> 
r  =  .<_  )
1614, 15mpan2 669 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  r  =  .<_  )
17 breq 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r x  <->  x  .<_  x ) )
18 breq 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
19 breq 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r z  <->  y  .<_  z ) )
2018, 19anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  /\  y r z )  <-> 
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z ) ) )
21 breq 4441 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r z  <->  x  .<_  z ) )
2220, 21imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r
z )  <->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
2317, 22anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <-> 
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2423ralbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
25242ralbidv 2898 . . . . . 6  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2616, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2713, 26sylan9bb 697 . . . 4  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  r  =  ( le `  K ) )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
285, 6, 27sbc2ie 3392 . . 3  |-  ( [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
294, 28syl6bb 261 . 2  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
30 df-preset 15756 . 2  |-  Preset  =  {
f  |  [. ( Base `  f )  / 
b ]. [. ( le
`  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) ) }
3129, 30elab4g 3247 1  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lecple 14791    Preset cpreset 15754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-iota 5534  df-fv 5578  df-preset 15756
This theorem is referenced by:  prslem  15759  ispos2  15776  ressprs  27877  oduprs  27878
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