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Theorem isprs 15121
Description: Property of being a preordered set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isprs.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isprs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isprs  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isprs
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5712 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
2 dfsbcq 3209 . . . . 5  |-  ( (
Base `  f )  =  ( Base `  K
)  ->  ( [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  f )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
4 fveq2 5712 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
5 dfsbcq 3209 . . . . . 6  |-  ( ( le `  f )  =  ( le `  K )  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
76sbcbidv 3266 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
83, 7bitrd 253 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
9 fvex 5722 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
10 fvex 5722 . . . 4  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
11 isprs.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 eqtr3 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  B  =  ( Base `  K
) )  ->  b  =  B )
1311, 12mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  b  =  B )
14 raleq 2938 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2946 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1615raleqbi1dv 2946 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1713, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
18 isprs.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 eqtr3 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  .<_  =  ( le `  K ) )  -> 
r  =  .<_  )
2018, 19mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  r  =  .<_  )
21 breq 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r x  <->  x  .<_  x ) )
22 breq 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
23 breq 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r z  <->  y  .<_  z ) )
2422, 23anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  /\  y r z )  <-> 
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z ) ) )
25 breq 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r z  <->  x  .<_  z ) )
2624, 25imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r
z )  <->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
2721, 26anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <-> 
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2827ralbidv 2756 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
29282ralbidv 2778 . . . . . 6  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3020, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3117, 30sylan9bb 699 . . . 4  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  r  =  ( le `  K ) )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
329, 10, 31sbc2ie 3283 . . 3  |-  ( [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
338, 32syl6bb 261 . 2  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
34 df-preset 15119 . 2  |-  Preset  =  {
f  |  [. ( Base `  f )  / 
b ]. [. ( le
`  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) ) }
3533, 34elab4g 3131 1  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   [.wsbc 3207   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   Basecbs 14195   lecple 14266    Preset cpreset 15117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-iota 5402  df-fv 5447  df-preset 15119
This theorem is referenced by:  prslem  15122  ispos2  15139  ressprs  26138  oduprs  26139
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