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Theorem isprm6 14121
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 14120. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 14106 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 euclemma 14120 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
323expb 1197 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) ) )
43biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
54ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
61, 5jca 532 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
7 simpl 457 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
8 eluz2b2 11164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
98simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN )
1110nnzd 10975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  ZZ )
12 iddvds 13870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  P )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  P
)
14 nncn 10554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  CC )
1510, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  CC )
16 nncn 10554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  CC )
18 nnne0 10578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  =/=  0 )
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  =/=  0
)
2015, 17, 19divcan1d 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  x.  z )  =  P )
2113, 20breqtrrd 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
23 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  ||  P
)
24 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN )
25 nndivdvds 13865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  NN ) )
2610, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  ||  P 
<->  ( P  /  z
)  e.  NN ) )
2723, 26mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  NN )
2827nnzd 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  ZZ )
29 nnz 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  ZZ )
3128, 30jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
32 oveq1 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  y ) )
3332breq2d 4464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y ) ) )
34 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  x  <->  P  ||  ( P  /  z ) ) )
3534orbi1d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  x  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y ) ) )
3633, 35imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  (
x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  y
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) ) ) )
37 oveq2 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  /  z
)  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  z ) )
3837breq2d 4464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( ( P  /  z )  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) ) )
39 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  y  <->  P  ||  z
) )
4039orbi2d 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  z ) ) )
4138, 40imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) ) )
4236, 41rspc2va 3229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  / 
z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4331, 42sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4422, 43mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) )
45 dvdsle 13902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  /  z
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4611, 27, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4715div1d 10322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
1 )  =  P )
4847breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
)  <->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4946, 48sylibrd 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
) ) )
50 nnrp 11239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR+ )
5150rpregt0d 11272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z ) )
53 1rp 11234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
54 rpregt0 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
5553, 54mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
56 nnrp 11239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR+ )
5710, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  RR+ )
5857rpregt0d 11272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )
59 lediv2 10445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <  z )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( z  <_  1  <->  ( P  /  1 )  <_  ( P  / 
z ) ) )
6052, 55, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  ( P  / 
1 )  <_  ( P  /  z ) ) )
6149, 60sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  <_  1 ) )
62 nnle1eq1 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <_  1  <->  z  = 
1 ) )
6362ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  z  =  1 ) )
6461, 63sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  = 
1 ) )
65 nnnn0 10812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN0 )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  e.  NN0 )
68 nnnn0 10812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  NN0 )
6910, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN0 )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  e.  NN0 )
71 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  ||  P )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  ||  z )
73 dvdseq 13904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  P  e.  NN0 )  /\  ( z  ||  P  /\  P  ||  z ) )  ->  z  =  P )
7467, 70, 71, 72, 73syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  =  P )
7574ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  z  ->  z  =  P ) )
7664, 75orim12d 836 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z )  ->  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
7776imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7844, 77syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7978an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
8079expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
8180ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
82 isprm2 14096 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
837, 81, 82sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  Prime )
846, 83impbii 188 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503    x. cmul 9507    < clt 9638    <_ cle 9639    / cdiv 10216   NNcn 10546   2c2 10595   NN0cn0 10805   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092   RR+crp 11230    || cdivides 13859   Primecprime 14088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-dvds 13860  df-gcd 14016  df-prm 14089
This theorem is referenced by:  domnchr  18415
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