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Theorem isprm5 13798
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 13773 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( z  ||  P  -> 
z  =  P ) ) )
2 prmuz2 13781 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
4 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
54simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
6 eluzelre 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
74simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
87nngt0d 10365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  P )
9 ltmulgt11 10189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  0  <  P )  ->  (
1  <  P  <->  P  <  ( P  x.  P ) ) )
106, 6, 8, 9syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  P  <->  P  <  ( P  x.  P ) ) )
115, 10mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  <  ( P  x.  P ) )
126, 6remulcld 9414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  x.  P )  e.  RR )
136, 12ltnled 9521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  <  ( P  x.  P
)  <->  -.  ( P  x.  P )  <_  P
) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( P  x.  P )  <_  P )
15 oveq12 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  P  /\  z  =  P )  ->  ( z  x.  z
)  =  ( P  x.  P ) )
1615anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  P  ->  (
z  x.  z )  =  ( P  x.  P ) )
1716breq1d 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  P  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  <->  ( P  x.  P )  <_  P
) )
1817notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  P  ->  ( -.  ( z  x.  z
)  <_  P  <->  -.  ( P  x.  P )  <_  P ) )
1914, 18syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  =  P  ->  -.  (
z  x.  z )  <_  P ) )
2019imim2d 52 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  z  =  P )  -> 
( z  ||  P  ->  -.  ( z  x.  z )  <_  P
) ) )
21 con2 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ||  P  ->  -.  ( z  x.  z
)  <_  P )  ->  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) )
2220, 21syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  z  =  P )  -> 
( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
233, 22imim12d 74 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
z  ||  P  ->  z  =  P ) )  ->  ( z  e. 
Prime  ->  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) ) )
2423ralimdv2 2796 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  ->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
25 annim 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P
)  <->  -.  ( z  ||  P  ->  z  =  P ) )
26 oveq12 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  z  /\  x  =  z )  ->  ( x  x.  x
)  =  ( z  x.  z ) )
2726anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  x )  =  ( z  x.  z ) )
2827breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  x.  x
)  <_  P  <->  ( z  x.  z )  <_  P
) )
29 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ||  P  <->  z  ||  P ) )
3028, 29anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  <-> 
( ( z  x.  z )  <_  P  /\  z  ||  P ) ) )
3130rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( z  x.  z
)  <_  P  /\  z  ||  P ) )  ->  E. x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) )
3231ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  ||  P  /\  ( z  x.  z
)  <_  P )
)  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )
3332expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
3433ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
35 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  ||  P )
36 eluzelz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  ZZ )
38 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
3938simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN )
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  NN )
4140nnne0d 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  =/=  0 )
42 eluzelz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  ZZ )
44 dvdsval2 13538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  ZZ ) )
4537, 41, 43, 44syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  ZZ ) )
4635, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  e.  ZZ )
47 eluzelre 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  RR )
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  RR )
4948recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  CC )
5049mulid2d 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
1  x.  z )  =  z )
517ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  NN )
52 dvdsle 13578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
5352imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  /\  z  ||  P
)  ->  z  <_  P )
5437, 51, 35, 53syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  <_  P )
55 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  -.  z  =  P )
5655neneqad 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  =/=  P )
5756necomd 2695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  =/=  z )
586ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
5948, 58ltlend 9519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  <  P  <->  ( z  <_  P  /\  P  =/=  z ) ) )
6054, 57, 59mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  <  P )
6150, 60eqbrtrd 4312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
1  x.  z )  <  P )
62 1red 9401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  1  e.  RR )
6343zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
64 nnre 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
65 nngt0 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN  ->  0  <  z )
6664, 65jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
6740, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
68 ltmuldiv 10202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )  ->  ( ( 1  x.  z )  < 
P  <->  1  <  ( P  /  z ) ) )
6962, 63, 67, 68syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( 1  x.  z
)  <  P  <->  1  <  ( P  /  z ) ) )
7061, 69mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  1  <  ( P  /  z
) )
71 eluz2b1 10926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  /  z )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( P  /  z )  e.  ZZ  /\  1  < 
( P  /  z
) ) )
7246, 70, 71sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7348, 48remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  RR )
7440, 40nnmulcld 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  NN )
75 nnrp 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR+ )
76 nnrp 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  x.  z )  e.  NN  ->  (
z  x.  z )  e.  RR+ )
77 rpdivcl 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
z  x.  z )  e.  RR+ )  ->  ( P  /  ( z  x.  z ) )  e.  RR+ )
7875, 76, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( z  x.  z
)  e.  NN )  ->  ( P  / 
( z  x.  z
) )  e.  RR+ )
7951, 74, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  ( z  x.  z ) )  e.  RR+ )
8058, 73, 79lemul1d 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  <->  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) )  <_  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) ) ) )
8158recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  CC )
8281, 49, 81, 49, 41, 41divmuldivd 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  =  ( ( P  x.  P )  / 
( z  x.  z
) ) )
8374nncnd 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  CC )
8474nnne0d 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  =/=  0 )
8581, 81, 83, 84divassd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  x.  P
)  /  ( z  x.  z ) )  =  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8682, 85eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  =  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8781, 83, 84divcan2d 10109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) )  =  P )
8887eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  =  ( ( z  x.  z )  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8986, 88breq12d 4305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  <->  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) )  <_  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) ) ) )
9080, 89bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  <->  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P
) )
9190biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  <_  P ) )
9281, 49, 41divcan2d 10109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  ( P  /  z ) )  =  P )
93 dvds0lem 13543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  ( P  /  z
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( z  x.  ( P  /  z ) )  =  P )  -> 
( P  /  z
)  ||  P )
9437, 46, 43, 92, 93syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  ||  P )
9591, 94jctird 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  /\  ( P  /  z )  ||  P ) ) )
96 oveq12 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( P  /  z )  /\  x  =  ( P  /  z ) )  ->  ( x  x.  x )  =  ( ( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) ) )
9796anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  x.  x )  =  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) ) )
9897breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( x  x.  x
)  <_  P  <->  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P
) )
99 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  ||  P  <->  ( P  /  z )  ||  P ) )
10098, 99anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  <-> 
( ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P  /\  ( P  /  z
)  ||  P )
) )
101100rspcev 3073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  /  z
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  /\  ( P  /  z )  ||  P ) )  ->  E. x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) )
10272, 95, 101syl6an 545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
10373, 58letrid 9524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  \/  P  <_  ( z  x.  z ) ) )
10434, 102, 103mpjaod 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )
105104ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
z  ||  P  /\  -.  z  =  P
)  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
10625, 105syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( -.  ( z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
107106rexlimdva 2841 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
108 exprmfct 13796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. z  e.  Prime  z  ||  x
)
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )  ->  E. z  e.  Prime  z  ||  x
)
110 prmz 13767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
111110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  e.  ZZ )
112111zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  e.  RR )
113112, 112remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  e.  RR )
114 eluzelz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  ZZ )
115114ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  ZZ )
116115zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  RR )
117116, 116remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( x  x.  x
)  e.  RR )
11842ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  P  e.  ZZ )
119118zred 10747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  P  e.  RR )
120 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( x  e.  NN  /\  1  < 
x ) )
121120simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  NN )
122121ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  NN )
123 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  ||  x )
124 dvdsle 13578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( z  ||  x  ->  z  <_  x )
)
125124imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  /\  z  ||  x
)  ->  z  <_  x )
126111, 122, 123, 125syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  <_  x )
12739nnnn0d 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN0 )
128127nn0ge0d 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  z )
1292, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <_ 
z )
130129ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
0  <_  z )
131 nnnn0 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
132131nn0ge0d 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <_  x )
133122, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
0  <_  x )
134 le2msq 10232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( z  <_  x  <->  ( z  x.  z )  <_  (
x  x.  x ) ) )
135112, 130, 116, 133, 134syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  <_  x  <->  ( z  x.  z )  <_  ( x  x.  x ) ) )
136126, 135mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  <_  ( x  x.  x ) )
137 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( x  x.  x
)  <_  P )
138113, 117, 119, 136, 137letrd 9528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  <_  P )
139 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  ||  P )
140 dvdstr 13566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  x  /\  x  ||  P )  ->  z  ||  P
) )
141111, 115, 118, 140syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( ( z  ||  x  /\  x  ||  P
)  ->  z  ||  P ) )
142123, 139, 141mp2and 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  ||  P )
143138, 142jc 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) )
144143expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  ||  x  ->  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
145144reximdva 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )  ->  ( E. z  e.  Prime  z  ||  x  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
146109, 145mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( (
z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
147146ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
148147rexlimdva 2841 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( (
z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
149107, 148syld 44 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
150 rexnal 2726 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  <->  -.  A. z  e.  ( ZZ>= `  2 )
( z  ||  P  ->  z  =  P ) )
151 rexnal 2726 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  Prime  -.  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  -.  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
152149, 150, 1513imtr3g 269 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  ->  -.  A. z  e.  Prime  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
15324, 152impcon4bid 205 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
154 prmnn 13766 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  NN )
155154nncnd 10338 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  CC )
156155sqvald 12005 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z ^ 2 )  =  ( z  x.  z
) )
157156breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( z ^ 2 )  <_  P  <->  ( z  x.  z )  <_  P
) )
158157imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
159158ralbiia 2747 . . . 4  |-  ( A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
160153, 159syl6bbr 263 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
161160pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
1621, 161bitri 249 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   ^cexp 11865    || cdivides 13535   Primecprime 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-dvds 13536  df-prm 13764
This theorem is referenced by:  pockthg  13967  prmlem1a  14134
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