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Theorem isprm5 14255
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 14229 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( z  ||  P  -> 
z  =  P ) ) )
2 prmuz2 14237 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
4 eluz2b2 11073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
54simprbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
6 eluzelre 11011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
7 eluz2nn 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
87nngt0d 10496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  P )
9 ltmulgt11 10319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  0  <  P )  ->  (
1  <  P  <->  P  <  ( P  x.  P ) ) )
106, 6, 8, 9syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  P  <->  P  <  ( P  x.  P ) ) )
115, 10mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  <  ( P  x.  P ) )
126, 6remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  x.  P )  e.  RR )
136, 12ltnled 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  <  ( P  x.  P
)  <->  -.  ( P  x.  P )  <_  P
) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( P  x.  P )  <_  P )
15 oveq12 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  P  /\  z  =  P )  ->  ( z  x.  z
)  =  ( P  x.  P ) )
1615anidms 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  P  ->  (
z  x.  z )  =  ( P  x.  P ) )
1716breq1d 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  P  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  <->  ( P  x.  P )  <_  P
) )
1817notbid 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  P  ->  ( -.  ( z  x.  z
)  <_  P  <->  -.  ( P  x.  P )  <_  P ) )
1914, 18syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  =  P  ->  -.  (
z  x.  z )  <_  P ) )
2019imim2d 52 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  z  =  P )  -> 
( z  ||  P  ->  -.  ( z  x.  z )  <_  P
) ) )
21 con2 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ||  P  ->  -.  ( z  x.  z
)  <_  P )  ->  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) )
2220, 21syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  z  =  P )  -> 
( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
233, 22imim12d 74 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
z  ||  P  ->  z  =  P ) )  ->  ( z  e. 
Prime  ->  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) ) )
2423ralimdv2 2789 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  ->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
25 annim 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P
)  <->  -.  ( z  ||  P  ->  z  =  P ) )
26 oveq12 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  z  /\  x  =  z )  ->  ( x  x.  x
)  =  ( z  x.  z ) )
2726anidms 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  x )  =  ( z  x.  z ) )
2827breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  x.  x
)  <_  P  <->  ( z  x.  z )  <_  P
) )
29 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ||  P  <->  z  ||  P ) )
3028, 29anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  <-> 
( ( z  x.  z )  <_  P  /\  z  ||  P ) ) )
3130rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( z  x.  z
)  <_  P  /\  z  ||  P ) )  ->  E. x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) )
3231ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  ||  P  /\  ( z  x.  z
)  <_  P )
)  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )
3332expr 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
3433ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
35 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  ||  P )
36 eluzelz 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
3736ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  ZZ )
38 eluz2nn 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN )
3938ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  NN )
4039nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  =/=  0 )
41 eluzelz 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  ZZ )
43 dvdsval2 13991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  ZZ ) )
4437, 40, 42, 43syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  ZZ ) )
4535, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  e.  ZZ )
46 eluzelre 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  RR )
4746ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  RR )
4847recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  CC )
4948mulid2d 9525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
1  x.  z )  =  z )
507ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  NN )
51 dvdsle 14033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
5251imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  /\  z  ||  P
)  ->  z  <_  P )
5337, 50, 35, 52syl21anc 1225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  <_  P )
54 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  -.  z  =  P )
5554neqned 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  =/=  P )
5655necomd 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  =/=  z )
576ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
5847, 57ltlend 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  <  P  <->  ( z  <_  P  /\  P  =/=  z ) ) )
5953, 56, 58mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  <  P )
6049, 59eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
1  x.  z )  <  P )
61 1red 9522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  1  e.  RR )
6242zred 10884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
63 nnre 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
64 nngt0 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN  ->  0  <  z )
6563, 64jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
6639, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
67 ltmuldiv 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )  ->  ( ( 1  x.  z )  < 
P  <->  1  <  ( P  /  z ) ) )
6861, 62, 66, 67syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( 1  x.  z
)  <  P  <->  1  <  ( P  /  z ) ) )
6960, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  1  <  ( P  /  z
) )
70 eluz2b1 11072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  /  z )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( P  /  z )  e.  ZZ  /\  1  < 
( P  /  z
) ) )
7145, 69, 70sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7247, 47remulcld 9535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  RR )
7339, 39nnmulcld 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  NN )
74 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR+ )
75 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  x.  z )  e.  NN  ->  (
z  x.  z )  e.  RR+ )
76 rpdivcl 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
z  x.  z )  e.  RR+ )  ->  ( P  /  ( z  x.  z ) )  e.  RR+ )
7774, 75, 76syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( z  x.  z
)  e.  NN )  ->  ( P  / 
( z  x.  z
) )  e.  RR+ )
7850, 73, 77syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  ( z  x.  z ) )  e.  RR+ )
7957, 72, 78lemul1d 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  <->  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) )  <_  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) ) ) )
8057recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  CC )
8180, 48, 80, 48, 40, 40divmuldivd 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  =  ( ( P  x.  P )  / 
( z  x.  z
) ) )
8273nncnd 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  CC )
8373nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  =/=  0 )
8480, 80, 82, 83divassd 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  x.  P
)  /  ( z  x.  z ) )  =  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8581, 84eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  =  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8680, 82, 83divcan2d 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) )  =  P )
8786eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  =  ( ( z  x.  z )  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8885, 87breq12d 4380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  <->  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) )  <_  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) ) ) )
8979, 88bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  <->  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P
) )
9089biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  <_  P ) )
9180, 48, 40divcan2d 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  ( P  /  z ) )  =  P )
92 dvds0lem 13996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  ( P  /  z
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( z  x.  ( P  /  z ) )  =  P )  -> 
( P  /  z
)  ||  P )
9337, 45, 42, 91, 92syl31anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  ||  P )
9490, 93jctird 542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  /\  ( P  /  z )  ||  P ) ) )
95 oveq12 6205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( P  /  z )  /\  x  =  ( P  /  z ) )  ->  ( x  x.  x )  =  ( ( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) ) )
9695anidms 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  x.  x )  =  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) ) )
9796breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( x  x.  x
)  <_  P  <->  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P
) )
98 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  ||  P  <->  ( P  /  z )  ||  P ) )
9997, 98anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  <-> 
( ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P  /\  ( P  /  z
)  ||  P )
) )
10099rspcev 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  /  z
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  /\  ( P  /  z )  ||  P ) )  ->  E. x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) )
10171, 94, 100syl6an 543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
10272, 57letrid 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  \/  P  <_  ( z  x.  z ) ) )
10334, 101, 102mpjaod 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )
104103ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
z  ||  P  /\  -.  z  =  P
)  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
10525, 104syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( -.  ( z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
106105rexlimdva 2874 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
107 prmz 14223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
108107ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  e.  ZZ )
109108zred 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  e.  RR )
110109, 109remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  e.  RR )
111 eluzelz 11010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  ZZ )
112111ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  ZZ )
113112zred 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  RR )
114113, 113remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( x  x.  x
)  e.  RR )
11541ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  P  e.  ZZ )
116115zred 10884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  P  e.  RR )
117 eluz2nn 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  NN )
118117ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  NN )
119 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  ||  x )
120 dvdsle 14033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( z  ||  x  ->  z  <_  x )
)
121120imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  /\  z  ||  x
)  ->  z  <_  x )
122108, 118, 119, 121syl21anc 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  <_  x )
123 eluzge2nn0 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN0 )
124123nn0ge0d 10772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  z )
1252, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <_ 
z )
126125ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
0  <_  z )
127 nnnn0 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
128127nn0ge0d 10772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <_  x )
129118, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
0  <_  x )
130 le2msq 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( z  <_  x  <->  ( z  x.  z )  <_  (
x  x.  x ) ) )
131109, 126, 113, 129, 130syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  <_  x  <->  ( z  x.  z )  <_  ( x  x.  x ) ) )
132122, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  <_  ( x  x.  x ) )
133 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( x  x.  x
)  <_  P )
134110, 114, 116, 132, 133letrd 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  <_  P )
135 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  ||  P )
136 dvdstr 14020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  x  /\  x  ||  P )  ->  z  ||  P
) )
137108, 112, 115, 136syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( ( z  ||  x  /\  x  ||  P
)  ->  z  ||  P ) )
138119, 135, 137mp2and 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  ||  P )
139134, 138jc 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) )
140 exprmfct 14253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. z  e.  Prime  z  ||  x
)
141140ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )  ->  E. z  e.  Prime  z  ||  x
)
142139, 141reximddv 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( (
z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
143142ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
144143rexlimdva 2874 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( (
z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
145106, 144syld 44 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
146 rexnal 2830 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  <->  -.  A. z  e.  ( ZZ>= `  2 )
( z  ||  P  ->  z  =  P ) )
147 rexnal 2830 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  Prime  -.  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  -.  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
148145, 146, 1473imtr3g 269 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  ->  -.  A. z  e.  Prime  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
14924, 148impcon4bid 205 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
150 prmnn 14222 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  NN )
151150nncnd 10468 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  CC )
152151sqvald 12209 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z ^ 2 )  =  ( z  x.  z
) )
153152breq1d 4377 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( z ^ 2 )  <_  P  <->  ( z  x.  z )  <_  P
) )
154153imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
155154ralbiia 2812 . . . 4  |-  ( A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
156149, 155syl6bbr 263 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
157156pm5.32i 635 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
1581, 157bitri 249 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   ^cexp 12069    || cdvds 13988   Primecprime 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-dvds 13989  df-prm 14220
This theorem is referenced by:  pockthg  14426  prmlem1a  14594  isprm7  31360
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