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Theorem isprm5 14235
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm4 14209 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( z  ||  P  -> 
z  =  P ) ) )
2 prmuz2 14217 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
4 eluz2b2 11165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
54simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
6 eluzelre 11102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
7 eluz2nn 11130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
87nngt0d 10586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  P )
9 ltmulgt11 10409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  0  <  P )  ->  (
1  <  P  <->  P  <  ( P  x.  P ) ) )
106, 6, 8, 9syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  P  <->  P  <  ( P  x.  P ) ) )
115, 10mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  <  ( P  x.  P ) )
126, 6remulcld 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  x.  P )  e.  RR )
136, 12ltnled 9735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  <  ( P  x.  P
)  <->  -.  ( P  x.  P )  <_  P
) )
1411, 13mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( P  x.  P )  <_  P )
15 oveq12 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  P  /\  z  =  P )  ->  ( z  x.  z
)  =  ( P  x.  P ) )
1615anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  P  ->  (
z  x.  z )  =  ( P  x.  P ) )
1716breq1d 4447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  P  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  <->  ( P  x.  P )  <_  P
) )
1817notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  P  ->  ( -.  ( z  x.  z
)  <_  P  <->  -.  ( P  x.  P )  <_  P ) )
1914, 18syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  =  P  ->  -.  (
z  x.  z )  <_  P ) )
2019imim2d 52 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  z  =  P )  -> 
( z  ||  P  ->  -.  ( z  x.  z )  <_  P
) ) )
21 con2 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ||  P  ->  -.  ( z  x.  z
)  <_  P )  ->  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) )
2220, 21syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  z  =  P )  -> 
( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
233, 22imim12d 74 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
z  ||  P  ->  z  =  P ) )  ->  ( z  e. 
Prime  ->  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) ) )
2423ralimdv2 2850 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  ->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
25 annim 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P
)  <->  -.  ( z  ||  P  ->  z  =  P ) )
26 oveq12 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  z  /\  x  =  z )  ->  ( x  x.  x
)  =  ( z  x.  z ) )
2726anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  x )  =  ( z  x.  z ) )
2827breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  x.  x
)  <_  P  <->  ( z  x.  z )  <_  P
) )
29 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ||  P  <->  z  ||  P ) )
3028, 29anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  <-> 
( ( z  x.  z )  <_  P  /\  z  ||  P ) ) )
3130rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( z  x.  z
)  <_  P  /\  z  ||  P ) )  ->  E. x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) )
3231ancom2s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  ||  P  /\  ( z  x.  z
)  <_  P )
)  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )
3332expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
3433ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
35 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  ||  P )
36 eluzelz 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  ZZ )
38 eluz2nn 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  NN )
4039nnne0d 10587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  =/=  0 )
41 eluzelz 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  ZZ )
43 dvdsval2 13971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  ZZ ) )
4437, 40, 42, 43syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  ZZ ) )
4535, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  e.  ZZ )
46 eluzelre 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  RR )
4746ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  RR )
4847recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  e.  CC )
4948mulid2d 9617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
1  x.  z )  =  z )
507ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  NN )
51 dvdsle 14013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  /\  z  ||  P
)  ->  z  <_  P )
5337, 50, 35, 52syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  <_  P )
54 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  -.  z  =  P )
5554neqned 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  =/=  P )
5655necomd 2714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  =/=  z )
576ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
5847, 57ltlend 9733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  <  P  <->  ( z  <_  P  /\  P  =/=  z ) ) )
5953, 56, 58mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  z  <  P )
6049, 59eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
1  x.  z )  <  P )
61 1red 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  1  e.  RR )
6242zred 10976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
63 nnre 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
64 nngt0 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN  ->  0  <  z )
6563, 64jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
6639, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
67 ltmuldiv 10422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )  ->  ( ( 1  x.  z )  < 
P  <->  1  <  ( P  /  z ) ) )
6861, 62, 66, 67syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( 1  x.  z
)  <  P  <->  1  <  ( P  /  z ) ) )
6960, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  1  <  ( P  /  z
) )
70 eluz2b1 11164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  /  z )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( P  /  z )  e.  ZZ  /\  1  < 
( P  /  z
) ) )
7145, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7247, 47remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  RR )
7339, 39nnmulcld 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  NN )
74 nnrp 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR+ )
75 nnrp 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  x.  z )  e.  NN  ->  (
z  x.  z )  e.  RR+ )
76 rpdivcl 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
z  x.  z )  e.  RR+ )  ->  ( P  /  ( z  x.  z ) )  e.  RR+ )
7774, 75, 76syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( z  x.  z
)  e.  NN )  ->  ( P  / 
( z  x.  z
) )  e.  RR+ )
7850, 73, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  ( z  x.  z ) )  e.  RR+ )
7957, 72, 78lemul1d 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  <->  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) )  <_  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) ) ) )
8057recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  e.  CC )
8180, 48, 80, 48, 40, 40divmuldivd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  =  ( ( P  x.  P )  / 
( z  x.  z
) ) )
8273nncnd 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  e.  CC )
8373nnne0d 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  z )  =/=  0 )
8480, 80, 82, 83divassd 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  x.  P
)  /  ( z  x.  z ) )  =  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8581, 84eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  =  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8680, 82, 83divcan2d 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) )  =  P )
8786eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  P  =  ( ( z  x.  z )  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) ) )
8885, 87breq12d 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  <->  ( P  x.  ( P  /  (
z  x.  z ) ) )  <_  (
( z  x.  z
)  x.  ( P  /  ( z  x.  z ) ) ) ) )
8979, 88bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  <->  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P
) )
9089biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  (
( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) )  <_  P ) )
9180, 48, 40divcan2d 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
z  x.  ( P  /  z ) )  =  P )
92 dvds0lem 13976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  ( P  /  z
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( z  x.  ( P  /  z ) )  =  P )  -> 
( P  /  z
)  ||  P )
9337, 45, 42, 91, 92syl31anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  /  z )  ||  P )
9490, 93jctird 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  /\  ( P  /  z )  ||  P ) ) )
95 oveq12 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( P  /  z )  /\  x  =  ( P  /  z ) )  ->  ( x  x.  x )  =  ( ( P  /  z
)  x.  ( P  /  z ) ) )
9695anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  x.  x )  =  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) ) )
9796breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( x  x.  x
)  <_  P  <->  ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P
) )
98 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  ||  P  <->  ( P  /  z )  ||  P ) )
9997, 98anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  <-> 
( ( ( P  /  z )  x.  ( P  /  z
) )  <_  P  /\  ( P  /  z
)  ||  P )
) )
10099rspcev 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  /  z
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( P  / 
z )  x.  ( P  /  z ) )  <_  P  /\  ( P  /  z )  ||  P ) )  ->  E. x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) )
10171, 94, 100syl6an 545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  ( P  <_  ( z  x.  z )  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
10272, 57letrid 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  (
( z  x.  z
)  <_  P  \/  P  <_  ( z  x.  z ) ) )
10334, 101, 102mpjaod 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( z  ||  P  /\  -.  z  =  P ) )  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )
104103ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
z  ||  P  /\  -.  z  =  P
)  ->  E. x  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
10525, 104syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( -.  ( z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
106105rexlimdva 2935 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ( ( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P ) ) )
107 prmz 14203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
108107ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  e.  ZZ )
109108zred 10976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  e.  RR )
110109, 109remulcld 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  e.  RR )
111 eluzelz 11101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  ZZ )
112111ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  ZZ )
113112zred 10976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  RR )
114113, 113remulcld 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( x  x.  x
)  e.  RR )
11541ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  P  e.  ZZ )
116115zred 10976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  P  e.  RR )
117 eluz2nn 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  NN )
118117ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  e.  NN )
119 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  ||  x )
120 dvdsle 14013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( z  ||  x  ->  z  <_  x )
)
121120imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  /\  z  ||  x
)  ->  z  <_  x )
122108, 118, 119, 121syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  <_  x )
123 eluzge2nn0 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN0 )
124123nn0ge0d 10862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  z )
1252, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <_ 
z )
126125ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
0  <_  z )
127 nnnn0 10809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
128127nn0ge0d 10862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <_  x )
129118, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
0  <_  x )
130 le2msq 10452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( z  <_  x  <->  ( z  x.  z )  <_  (
x  x.  x ) ) )
131109, 126, 113, 129, 130syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  <_  x  <->  ( z  x.  z )  <_  ( x  x.  x ) ) )
132122, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  <_  ( x  x.  x ) )
133 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( x  x.  x
)  <_  P )
134110, 114, 116, 132, 133letrd 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( z  x.  z
)  <_  P )
135 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  x  ||  P )
136 dvdstr 14000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  x  /\  x  ||  P )  ->  z  ||  P
) )
137108, 112, 115, 136syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
( ( z  ||  x  /\  x  ||  P
)  ->  z  ||  P ) )
138119, 135, 137mp2and 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  -> 
z  ||  P )
139134, 138jc 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P
) )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  ||  x ) )  ->  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) )
140 exprmfct 14233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. z  e.  Prime  z  ||  x
)
141140ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )  ->  E. z  e.  Prime  z  ||  x
)
142139, 141reximddv 2919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P ) )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( (
z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
143142ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( x  x.  x
)  <_  P  /\  x  ||  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
144143rexlimdva 2935 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( x  x.  x )  <_  P  /\  x  ||  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( (
z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
145106, 144syld 44 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  ->  E. z  e.  Prime  -.  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
146 rexnal 2891 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  -.  (
z  ||  P  ->  z  =  P )  <->  -.  A. z  e.  ( ZZ>= `  2 )
( z  ||  P  ->  z  =  P ) )
147 rexnal 2891 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  Prime  -.  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  -.  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
148145, 146, 1473imtr3g 269 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  ->  -.  A. z  e.  Prime  (
( z  x.  z
)  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
14924, 148impcon4bid 205 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
150 prmnn 14202 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  NN )
151150nncnd 10559 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  CC )
152151sqvald 12289 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z ^ 2 )  =  ( z  x.  z
) )
153152breq1d 4447 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( z ^ 2 )  <_  P  <->  ( z  x.  z )  <_  P
) )
154153imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
) ) )
155154ralbiia 2873 . . . 4  |-  ( A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z  x.  z )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
156149, 155syl6bbr 263 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
157156pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
1581, 157bitri 249 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   RR+crp 11231   ^cexp 12148    || cdvds 13968   Primecprime 14199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-dvds 13969  df-prm 14200
This theorem is referenced by:  pockthg  14406  prmlem1a  14574  isprm7  31168
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