MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm4 Structured version   Unicode version

Theorem isprm4 14098
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm4  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( z  ||  P  -> 
z  =  P ) ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm4
StepHypRef Expression
1 isprm2 14096 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
2 eluz2b3 11165 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  z  =/=  1 ) )
32imbi1i 325 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
z  ||  P  ->  z  =  P ) )  <-> 
( ( z  e.  NN  /\  z  =/=  1 )  ->  (
z  ||  P  ->  z  =  P ) ) )
4 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  z  =/=  1 )  ->  ( z  ||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  =/=  1  ->  ( z 
||  P  ->  z  =  P ) ) ) )
5 bi2.04 361 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =/=  1  -> 
( z  ||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( z  ||  P  ->  ( z  =/=  1  ->  z  =  P ) ) )
6 df-ne 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =/=  1  <->  -.  z  =  1 )
76imbi1i 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =/=  1  -> 
z  =  P )  <-> 
( -.  z  =  1  ->  z  =  P ) )
8 df-or 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  1  \/  z  =  P )  <-> 
( -.  z  =  1  ->  z  =  P ) )
97, 8bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =/=  1  -> 
z  =  P )  <-> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
109imbi2i 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ||  P  -> 
( z  =/=  1  ->  z  =  P ) )  <->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
115, 10bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =/=  1  -> 
( z  ||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
1211imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  NN  ->  ( z  =/=  1  -> 
( z  ||  P  ->  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
134, 12bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  z  =/=  1 )  ->  ( z  ||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
143, 13bitri 249 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
z  ||  P  ->  z  =  P ) )  <-> 
( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
1514ralbii2 2896 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P )  <->  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
1615anbi2i 694 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( z 
||  P  ->  z  =  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
171, 16bitr4i 252 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( z  ||  P  -> 
z  =  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   class class class wbr 4452   ` cfv 5593   1c1 9503   NNcn 10546   2c2 10595   ZZ>=cuz 11092    || cdivides 13859   Primecprime 14088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-dvds 13860  df-prm 14089
This theorem is referenced by:  nprm  14102  prmuz2  14106  dvdsprm  14111  isprm5  14124
  Copyright terms: Public domain W3C validator