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Theorem isprm3 14102
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 14101 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
2 iman 424 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  ( z  e.  NN  /\  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
3 2nn 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN
4 elnnuz 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  NN  <->  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
53, 4mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
6 uztrn 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  P  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 elnnuz 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  NN  <->  P  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
10 nnz 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
11 dvdsle 13907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
1210, 11sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
13 nnge1 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  1  <_  z )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  1  <_  z )
1512, 14jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
169, 15sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
17 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
18 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR )
19 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
20 leltne 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
2119, 20mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
22213adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
23223expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 1  <_  z  ->  ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) ) )
24 leltne 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) )
25243expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( z  <_  P  ->  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) )
2623, 25anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
2717, 18, 26syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
28 pm4.38 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z ) ) )
29 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =/=  1  <->  -.  z  =  1 )
30 nesym 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  =/=  z  <->  -.  z  =  P )
3129, 30anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <-> 
( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P ) )
32 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  ( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P )
)
3331, 32bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
3428, 33syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
3527, 34syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3610, 9, 35syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3716, 36syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3837imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
39 eluzelz 11103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
40 1z 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ZZ
41 zltp1le 10924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_  z ) )
4240, 41mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z ) )
43 df-2 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4443breq1i 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  <_  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z )
4542, 44syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  2  <_  z ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  2  <_  z ) )
47 zltlem1 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  <  P  <->  z  <_  ( P  - 
1 ) ) )
4846, 47anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
49 peano2zm 10918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
50 2z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
51 elfz 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
5250, 51mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
5349, 52sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
5448, 53bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
5510, 39, 54syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
5738, 56bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
5857anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( P  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  z  ||  P ) )  ->  ( -.  (
z  =  1  \/  z  =  P )  <-> 
z  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) ) ) )
5958expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
z  e.  NN  ->  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
6059pm5.32d 639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
61 fzssuz 11736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  2 )
62 1le2 10761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <_  2
63 eluz 11107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
6440, 50, 63mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
6562, 64mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
66 uzss 11114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
6861, 67sstri 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
69 nnuz 11129 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7068, 69sseqtr4i 3542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  NN
7170sseli 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  z  e.  NN )
7271pm4.71ri 633 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7360, 72syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7473notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  ( -.  ( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
752, 74syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
7675pm5.74da 687 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  ( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
77 bi2.04 361 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  -> 
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
78 con2b 334 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) )
7976, 77, 783bitr3g 287 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
8079ralbidv2 2902 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
8180pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
821, 81bitri 249 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684    || cdivides 13864   Primecprime 14093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-dvds 13865  df-prm 14094
This theorem is referenced by:  prmind2  14104  2prm  14109  3prm  14110  wilth  23211  mersenne  23368
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