Theorem isprm3 13776

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than 1 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	|- (P e. Prime <-> (P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. (2...(P - 1)) -. z||P))

Distinct variable group:   z,P

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 13775	. 2 |- (P e. Prime <-> (P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
2		nnge1 7126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z e. NN -> 1 <_ z)
3	2	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. NN /\ P e. NN) -> 1 <_ z)
4	3	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. NN /\ P e. NN) -> (z||P -> 1 <_ z))
5		dvdsle 13693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. ZZ /\ P e. NN) -> (z||P -> z <_ P))
6		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z e. NN -> z e. ZZ)
7	5, 6	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. NN /\ P e. NN) -> (z||P -> z <_ P))
8	4, 7	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. NN /\ P e. NN) -> (z||P -> (1 <_ z /\ z <_ P)))
9		lt01 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < 1
10		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (P e. ZZ -> P e. RR)
11		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
12		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
13		lttr 6677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR /\ P e. RR) -> ((0 < 1 /\ 1 < P) -> 0 < P))
14	11, 12, 13	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (P e. RR -> ((0 < 1 /\ 1 < P) -> 0 < P))
15	10, 14	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (P e. ZZ -> ((0 < 1 /\ 1 < P) -> 0 < P))
16	9, 15	mpani 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (P e. ZZ -> (1 < P -> 0 < P))
17		elnnz 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (P e. NN <-> (P e. ZZ /\ 0 < P))
18	17	simplbi2 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (P e. ZZ -> (0 < P -> P e. NN))
19	16, 18	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (P e. ZZ -> (1 < P -> P e. NN))
20	19	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P) -> P e. NN)
21	8, 20	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z e. NN /\ (P e. ZZ /\ 1 < P)) -> (z||P -> (1 <_ z /\ z <_ P)))
22		leltne 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((1 e. RR /\ z e. RR /\ 1 <_ z) -> (1 < z <-> z =/= 1))
23	12, 22	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((z e. RR /\ 1 <_ z) -> (1 < z <-> z =/= 1))
24	23	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((z e. RR /\ P e. RR /\ 1 <_ z) -> (1 < z <-> z =/= 1))
25	24	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((z e. RR /\ P e. RR) -> (1 <_ z -> (1 < z <-> z =/= 1)))
26		leltne 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((z e. RR /\ P e. RR /\ z <_ P) -> (z < P <-> P =/= z))
27	26	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((z e. RR /\ P e. RR) -> (z <_ P -> (z < P <-> P =/= z)))
28	25, 27	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((z e. RR /\ P e. RR) -> ((1 <_ z /\ z <_ P) -> ((1 < z <-> z =/= 1) /\ (z < P <-> P =/= z))))
29		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z e. ZZ -> z e. RR)
30	28, 29, 10	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. ZZ /\ P e. ZZ) -> ((1 <_ z /\ z <_ P) -> ((1 < z <-> z =/= 1) /\ (z < P <-> P =/= z))))
31		pm4.38 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((1 < z <-> z =/= 1) /\ (z < P <-> P =/= z)) -> ((1 < z /\ z < P) <-> (z =/= 1 /\ P =/= z)))
32		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (z =/= 1 <-> -. z = 1)
33		necom 2094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (P =/= z <-> z =/= P)
34		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (z =/= P <-> -. z = P)
35	33, 34	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (P =/= z <-> -. z = P)
36	32, 35	anbi12i 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((z =/= 1 /\ P =/= z) <-> (-. z = 1 /\ -. z = P))
37		ioran 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (-. (z = 1 \/ z = P) <-> (-. z = 1 /\ -. z = P))
38	36, 37	bitr4i 193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((z =/= 1 /\ P =/= z) <-> -. (z = 1 \/ z = P))
39	38	bibi2i 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((1 < z /\ z < P) <-> (z =/= 1 /\ P =/= z)) <-> ((1 < z /\ z < P) <-> -. (z = 1 \/ z = P)))
40	31, 39	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((1 < z <-> z =/= 1) /\ (z < P <-> P =/= z)) -> ((1 < z /\ z < P) <-> -. (z = 1 \/ z = P)))
41	30, 40	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. ZZ /\ P e. ZZ) -> ((1 <_ z /\ z <_ P) -> ((1 < z /\ z < P) <-> -. (z = 1 \/ z = P))))
42	41, 6	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. NN /\ P e. ZZ) -> ((1 <_ z /\ z <_ P) -> ((1 < z /\ z < P) <-> -. (z = 1 \/ z = P))))
43	42	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z e. NN /\ (P e. ZZ /\ 1 < P)) -> ((1 <_ z /\ z <_ P) -> ((1 < z /\ z < P) <-> -. (z = 1 \/ z = P))))
44	21, 43	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. NN /\ (P e. ZZ /\ 1 < P)) -> (z||P -> ((1 < z /\ z < P) <-> -. (z = 1 \/ z = P))))
45	44	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z e. NN /\ (P e. ZZ /\ 1 < P)) /\ z||P) -> ((1 < z /\ z < P) <-> -. (z = 1 \/ z = P)))
46		1z 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
47		zltp1le 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((1 e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (1 < z <-> (1 + 1) <_ z))
48	46, 47	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z e. ZZ -> (1 < z <-> (1 + 1) <_ z))
49		1p1e2 10145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (1 + 1) = 2
50	49	breq1i 3345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((1 + 1) <_ z <-> 2 <_ z)
51	48, 50	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z e. ZZ -> (1 < z <-> 2 <_ z))
52	51	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. ZZ /\ P e. ZZ) -> (1 < z <-> 2 <_ z))
53		zltlem1 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. ZZ /\ P e. ZZ) -> (z < P <-> z <_ (P - 1)))
54	52, 53	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. ZZ /\ P e. ZZ) -> ((1 < z /\ z < P) <-> (2 <_ z /\ z <_ (P - 1))))
55		2z 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. ZZ
56		elfz 7641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((z e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ (P - 1) e. ZZ) -> (z e. (2...(P - 1)) <-> (2 <_ z /\ z <_ (P - 1))))
57	55, 56	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. ZZ /\ (P - 1) e. ZZ) -> (z e. (2...(P - 1)) <-> (2 <_ z /\ z <_ (P - 1))))
58		peano2zm 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (P e. ZZ -> (P - 1) e. ZZ)
59	57, 58	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. ZZ /\ P e. ZZ) -> (z e. (2...(P - 1)) <-> (2 <_ z /\ z <_ (P - 1))))
60	54, 59	bitr4d 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. ZZ /\ P e. ZZ) -> ((1 < z /\ z < P) <-> z e. (2...(P - 1))))
61	60, 6	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z e. NN /\ P e. ZZ) -> ((1 < z /\ z < P) <-> z e. (2...(P - 1))))
62	61	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. NN /\ (P e. ZZ /\ 1 < P)) -> ((1 < z /\ z < P) <-> z e. (2...(P - 1))))
63	62	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z e. NN /\ (P e. ZZ /\ 1 < P)) /\ z||P) -> ((1 < z /\ z < P) <-> z e. (2...(P - 1))))
64	45, 63	bitr3d 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((z e. NN /\ (P e. ZZ /\ 1 < P)) /\ z||P) -> (-. (z = 1 \/ z = P) <-> z e. (2...(P - 1))))
65	64	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. NN /\ ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ z||P)) -> (-. (z = 1 \/ z = P) <-> z e. (2...(P - 1))))
66	65	expcom 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ z||P) -> (z e. NN -> (-. (z = 1 \/ z = P) <-> z e. (2...(P - 1)))))
67	66	pm5.32d 709	. . . . . . . . . . . 12 |- (((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ z||P) -> ((z e. NN /\ -. (z = 1 \/ z = P)) <-> (z e. NN /\ z e. (2...(P - 1)))))
68		fzssuz 7677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2...(P - 1)) C_ (ZZ>=` 2)
69		2re 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR
70		1lt2 7212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 < 2
71	12, 69, 70	ltleii 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 <_ 2
72		eluz 7595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ) -> (2 e. (ZZ>=` 1) <-> 1 <_ 2))
73	46, 55, 72	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2 e. (ZZ>=` 1) <-> 1 <_ 2)
74	71, 73	mpbir 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. (ZZ>=` 1)
75		uzss 7600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (2 e. (ZZ>=` 1) -> (ZZ>=` 2) C_ (ZZ>=` 1))
76	74, 75	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (ZZ>=` 2) C_ (ZZ>=` 1)
77	68, 76	sstri 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2...(P - 1)) C_ (ZZ>=` 1)
78		nnuz 7608	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = (ZZ>=` 1)
79	77, 78	sseqtr4i 2650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (2...(P - 1)) C_ NN
80	79	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. (2...(P - 1)) -> z e. NN)
81	80	pm4.71ri 700	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. (2...(P - 1)) <-> (z e. NN /\ z e. (2...(P - 1))))
82	67, 81	syl6bbr 597	. . . . . . . . . . 11 |- (((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ z||P) -> ((z e. NN /\ -. (z = 1 \/ z = P)) <-> z e. (2...(P - 1))))
83	82	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ z||P) -> (-. (z e. NN /\ -. (z = 1 \/ z = P)) <-> -. z e. (2...(P - 1))))
84		iman 256	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. NN -> (z = 1 \/ z = P)) <-> -. (z e. NN /\ -. (z = 1 \/ z = P)))
85	83, 84	syl5bb 591	. . . . . . . . 9 |- (((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ z||P) -> ((z e. NN -> (z = 1 \/ z = P)) <-> -. z e. (2...(P - 1))))
86	85	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P) -> (z||P -> ((z e. NN -> (z = 1 \/ z = P)) <-> -. z e. (2...(P - 1)))))
87	86	pm5.74d 645	. . . . . . 7 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P) -> ((z||P -> (z e. NN -> (z = 1 \/ z = P))) <-> (z||P -> -. z e. (2...(P - 1)))))
88		bi2.04 177	. . . . . . 7 |- ((z||P -> (z e. NN -> (z = 1 \/ z = P))) <-> (z e. NN -> (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
89	87, 88	syl5bbr 593	. . . . . 6 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P) -> ((z e. NN -> (z||P -> (z = 1 \/ z = P))) <-> (z||P -> -. z e. (2...(P - 1)))))
90		con2b 182	. . . . . 6 |- ((z||P -> -. z e. (2...(P - 1))) <-> (z e. (2...(P - 1)) -> -. z||P))
91	89, 90	syl6bb 595	. . . . 5 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P) -> ((z e. NN -> (z||P -> (z = 1 \/ z = P))) <-> (z e. (2...(P - 1)) -> -. z||P)))
92	91	ralbidv2 2125	. . . 4 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P) -> (A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P)) <-> A.z e. (2...(P - 1)) -. z||P))
93	92	pm5.32i 707	. . 3 |- (((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))) <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ A.z e. (2...(P - 1)) -. z||P))
94		df-3an 860	. . 3 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))) <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
95		df-3an 860	. . 3 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. (2...(P - 1)) -. z||P) <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ A.z e. (2...(P - 1)) -. z||P))
96	93, 94, 95	3bitr4i 200	. 2 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))) <-> (P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. (2...(P - 1)) -. z||P))
97	1, 96	bitri 190	1 |- (P e. Prime <-> (P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. (2...(P - 1)) -. z||P))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  ||cdivides 13662  Primecprime 13766

This theorem is referenced by:  2prm 13779  3prm 13780  4nprm 13781

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-divides 13663  df-prime 13767

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