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Theorem isprm3 14228
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 14227 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
2 iman 422 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  ( z  e.  NN  /\  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
3 eluz2nn 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
4 nnz 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
5 dvdsle 14033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
64, 5sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  z  <_  P )
)
7 nnge1 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  ->  1  <_  z )
87adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  1  <_  z )
96, 8jctild 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
103, 9sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( 1  <_  z  /\  z  <_  P ) ) )
11 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
12 nnre 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR )
13 1re 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
14 leltne 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
1513, 14mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  <_  z )  -> 
( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
16153adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  1  <_  z )  ->  (
1  <  z  <->  z  =/=  1 ) )
17163expia 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 1  <_  z  ->  ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 ) ) )
18 leltne 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  z  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) )
19183expia 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( z  <_  P  ->  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) )
2017, 19anim12d 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
2111, 12, 20syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  (
z  <  P  <->  P  =/=  z ) ) ) )
22 pm4.38 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z ) ) )
23 df-ne 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =/=  1  <->  -.  z  =  1 )
24 nesym 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  =/=  z  <->  -.  z  =  P )
2523, 24anbi12i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <-> 
( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P ) )
26 ioran 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  ( -.  z  =  1  /\  -.  z  =  P )
)
2725, 26bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =/=  1  /\  P  =/=  z )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
2822, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  <  z  <->  z  =/=  1 )  /\  ( z  <  P  <->  P  =/=  z ) )  ->  ( ( 1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
2921, 28syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
304, 3, 29syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  <_ 
z  /\  z  <_  P )  ->  ( (
1  <  z  /\  z  <  P )  <->  -.  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3110, 30syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( z  ||  P  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3231imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  -.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
33 eluzelz 11010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
34 1z 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ZZ
35 zltp1le 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_  z ) )
3634, 35mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z ) )
37 df-2 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3837breq1i 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  <_  z  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
z )
3936, 38syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
1  <  z  <->  2  <_  z ) )
4039adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  z  <->  2  <_  z ) )
41 zltlem1 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  <  P  <->  z  <_  ( P  - 
1 ) ) )
4240, 41anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
43 peano2zm 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
44 2z 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
45 elfz 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
4644, 45mp3an2 1310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( 2  <_ 
z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
4743, 46sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
4842, 47bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
494, 33, 48syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( ( 1  < 
z  /\  z  <  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
5132, 50bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  z  ||  P )  -> 
( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
5251anasss 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( P  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  z  ||  P ) )  ->  ( -.  (
z  =  1  \/  z  =  P )  <-> 
z  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) ) ) )
5352expcom 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
z  e.  NN  ->  ( -.  ( z  =  1  \/  z  =  P )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
5453pm5.32d 637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
55 fzssuz 11646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  2 )
56 2eluzge1 11047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
57 uzss 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
5955, 58sstri 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
60 nnuz 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6159, 60sseqtr4i 3450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  C_  NN
6261sseli 3413 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  z  e.  NN )
6362pm4.71ri 631 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( z  e.  NN  /\  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
6454, 63syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
6564notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  ( -.  ( z  e.  NN  /\ 
-.  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
662, 65syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  ||  P )  ->  (
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) )
6766pm5.74da 685 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  ||  P  ->  ( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
68 bi2.04 359 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  -> 
( z  e.  NN  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
69 con2b 332 . . . . 5  |-  ( ( z  ||  P  ->  -.  z  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) )
7067, 68, 693bitr3g 287 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7170ralbidv2 2817 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
7271pm5.32i 635 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
731, 72bitri 249 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  z  ||  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   1c1 9404    + caddc 9406    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   NNcn 10452   2c2 10502   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593    || cdvds 13988   Primecprime 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-dvds 13989  df-prm 14220
This theorem is referenced by:  prmind2  14230  2prm  14235  3prm  14236  wilth  23462  mersenne  23619
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