MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2lem Structured version   Unicode version

Theorem isprm2lem 14236
Description: Lemma for isprm2 14237. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Distinct variable group:    P, n

Proof of Theorem isprm2lem
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2738 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
p  =/=  1  <->  P  =/=  1 ) )
2 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
n  ||  p  <->  n  ||  P
) )
32rabbidv 3101 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
n  e.  NN  |  n  ||  P } )
43breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o ) )
5 preq2 4112 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  { 1 ,  p }  =  { 1 ,  P } )
63, 5eqeq12d 2479 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p } 
<->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) )
74, 6bibi12d 321 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
)  <->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) ) )
81, 7imbi12d 320 . . 3  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
) )  <->  ( P  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o 
<->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) ) ) )
9 1idssfct 14235 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  NN  ->  { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
10 disjsn 4092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 1 }  i^i  { p } )  =  (/) 
<->  -.  p  e.  {
1 } )
11 1ex 9608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  _V
1211ensn1 7598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 1 }  ~~  1o
13 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  p  e. 
_V
1413ensn1 7598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { p }  ~~  1o
15 pm54.43 8398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { 1 }  ~~  1o  /\  { p }  ~~  1o )  ->  (
( { 1 }  i^i  { p }
)  =  (/)  <->  ( {
1 }  u.  {
p } )  ~~  2o ) )
1612, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 1 }  i^i  { p } )  =  (/) 
<->  ( { 1 }  u.  { p }
)  ~~  2o )
1710, 16bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  p  e.  { 1 }  <->  ( { 1 }  u.  { p } )  ~~  2o )
18 elsn 4046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { 1 }  <-> 
p  =  1 )
1917, 18xchnxbi 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  p  =  1  <->  ( { 1 }  u.  { p } )  ~~  2o )
20 df-ne 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =/=  1  <->  -.  p  =  1 )
21 df-pr 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  { 1 ,  p }  =  ( { 1 }  u.  { p } )
2221breq1i 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 ,  p }  ~~  2o  <->  ( { 1 }  u.  { p } )  ~~  2o )
2319, 20, 223bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =/=  1  <->  { 1 ,  p }  ~~  2o )
24 ensym 7583 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  ->  2o  ~~  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )
25 entr 7586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 1 ,  p }  ~~  2o  /\  2o  ~~ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  p }
)  ->  { 1 ,  p }  ~~  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 ,  p }  ~~  2o  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o )  ->  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
2723, 26sylanb 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =/=  1  /\ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o )  ->  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
28 prfi 7813 . . . . . . . . . . 11  |-  { 1 ,  p }  e.  Fin
29 ensym 7583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  { 1 ,  p } )
30 enfii 7756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { 1 ,  p }  e.  Fin  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  { 1 ,  p }
)  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3128, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3231adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
33 dfpss2 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 1 ,  p }  C. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  p }  <->  ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  -.  {
1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }
) )
34 pssinf 7749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 1 ,  p }  C.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3533, 34sylanbr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  -.  {
1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }
)  /\  { 1 ,  p }  ~~  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3635an32s 804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  /\  -.  { 1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }
)  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3736ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  ( -.  {
1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin ) )
3832, 37mt4d 138 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  { 1 ,  p }  =  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )
399, 27, 38syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( p  =/=  1  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )  ->  { 1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
4039eqcomd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( p  =/=  1  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p } )
4140expr 615 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  NN  /\  p  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p } ) )
42 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p }  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { 1 ,  p }  ~~  2o ) )
4342, 23syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p }  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  p  =/=  1 ) )
4443biimprcd 225 . . . . . 6  |-  ( p  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )
4544adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  NN  /\  p  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )
4641, 45impbid 191 . . . 4  |-  ( ( p  e.  NN  /\  p  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
) )
4746ex 434 . . 3  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  =/=  1  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
) ) )
488, 47vtoclga 3173 . 2  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) ) )
4948imp 429 1  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {crab 2811    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471    C. wpss 3472   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   1oc1o 7141   2oc2o 7142    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   1c1 9510   NNcn 10556    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-z 10886  df-dvds 13999
This theorem is referenced by:  isprm2  14237
  Copyright terms: Public domain W3C validator