Theorem isprm2lem 13774

Description: Lemma for isprm2 13775.

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	|- ((P e. NN /\ P =/= 1) -> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} = {1, P}))

Distinct variable group:   P,n

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2024	. . . 4 |- (p = P -> (p =/= 1 <-> P =/= 1))
2		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (p = P -> (n||p <-> n||P))
3	2	rabbidv 2287	. . . . . 6 |- (p = P -> {n e. NN | n||p} = {n e. NN | n||P})
4	3	breq1d 3348	. . . . 5 |- (p = P -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} ~~ 2o))
5		preq2 3099	. . . . . 6 |- (p = P -> {1, p} = {1, P})
6	3, 5	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (p = P -> ({n e. NN | n||p} = {1, p} <-> {n e. NN | n||P} = {1, P}))
7	4, 6	bibi12d 691	. . . 4 |- (p = P -> (({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||p} = {1, p}) <-> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} = {1, P})))
8	1, 7	imbi12d 688	. . 3 |- (p = P -> ((p =/= 1 -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||p} = {1, p})) <-> (P =/= 1 -> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} = {1, P}))))
9		prfi 5647	. . . . . . . . . . . . 13 |- {1, p} e. Fin
10		nnex 7116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
11		ssrab2 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- {n e. NN | n||p} C_ NN
12	10, 11	ssexi 3456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- {n e. NN | n||p} e. _V
13		enfi 5627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (({n e. NN | n||p} e. _V /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) -> ({1, p} e. Fin <-> {n e. NN | n||p} e. Fin))
14	12, 13	mpan 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ({1, p} ~~ {n e. NN | n||p} -> ({1, p} e. Fin <-> {n e. NN | n||p} e. Fin))
15	9, 14	mpbii 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ({1, p} ~~ {n e. NN | n||p} -> {n e. NN | n||p} e. Fin)
16	15	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- (({1, p} C_ {n e. NN | n||p} /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) -> {n e. NN | n||p} e. Fin)
17		pssinf 5621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (({1, p} C. {n e. NN | n||p} /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) -> -. {n e. NN | n||p} e. Fin)
18		dfpss2 2694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({1, p} C. {n e. NN | n||p} <-> ({1, p} C_ {n e. NN | n||p} /\ -. {1, p} = {n e. NN | n||p}))
19	17, 18	sylanbr 499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((({1, p} C_ {n e. NN | n||p} /\ -. {1, p} = {n e. NN | n||p}) /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) -> -. {n e. NN | n||p} e. Fin)
20	19	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((({1, p} C_ {n e. NN | n||p} /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) /\ -. {1, p} = {n e. NN | n||p}) -> -. {n e. NN | n||p} e. Fin)
21	20	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (({1, p} C_ {n e. NN | n||p} /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) -> (-. {1, p} = {n e. NN | n||p} -> -. {n e. NN | n||p} e. Fin))
22	21	con4d 91	. . . . . . . . . . 11 |- (({1, p} C_ {n e. NN | n||p} /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) -> ({n e. NN | n||p} e. Fin -> {1, p} = {n e. NN | n||p}))
23	16, 22	mpd 29	. . . . . . . . . 10 |- (({1, p} C_ {n e. NN | n||p} /\ {1, p} ~~ {n e. NN | n||p}) -> {1, p} = {n e. NN | n||p})
24		1idssfct 13770	. . . . . . . . . 10 |- (p e. NN -> {1, p} C_ {n e. NN | n||p})
25		entr 5473	. . . . . . . . . . . 12 |- (({1, p} ~~ 2o /\ 2o ~~ {n e. NN | n||p}) -> {1, p} ~~ {n e. NN | n||p})
26		2onn 5311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
27	26	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. _V
28	27	ensym 5471	. . . . . . . . . . . 12 |- ({n e. NN | n||p} ~~ 2o -> 2o ~~ {n e. NN | n||p})
29	25, 28	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- (({1, p} ~~ 2o /\ {n e. NN | n||p} ~~ 2o) -> {1, p} ~~ {n e. NN | n||p})
30		disjsn 3089	. . . . . . . . . . . . 13 |- (({1} i^i {p}) = (/) <-> -. p e. {1})
31		1nn 7117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN
32	31	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
33	32	ensn1 5483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- {1} ~~ 1o
34		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- p e. _V
35	34	ensn1 5483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- {p} ~~ 1o
36		pm54.43 5662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (({1} ~~ 1o /\ {p} ~~ 1o) -> (({1} i^i {p}) = (/) <-> ({1} u. {p}) ~~ 2o))
37	33, 35, 36	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- (({1} i^i {p}) = (/) <-> ({1} u. {p}) ~~ 2o)
38	34	elsnc 3065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (p e. {1} <-> p = 1)
39	38	notbii 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. p e. {1} <-> -. p = 1)
40	30, 37, 39	3bitr3ri 199	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. p = 1 <-> ({1} u. {p}) ~~ 2o)
41		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . 12 |- (p =/= 1 <-> -. p = 1)
42		df-pr 3050	. . . . . . . . . . . . 13 |- {1, p} = ({1} u. {p})
43	42	breq1i 3345	. . . . . . . . . . . 12 |- ({1, p} ~~ 2o <-> ({1} u. {p}) ~~ 2o)
44	40, 41, 43	3bitr4i 200	. . . . . . . . . . 11 |- (p =/= 1 <-> {1, p} ~~ 2o)
45	29, 44	sylanb 498	. . . . . . . . . 10 |- ((p =/= 1 /\ {n e. NN | n||p} ~~ 2o) -> {1, p} ~~ {n e. NN | n||p})
46	23, 24, 45	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- ((p e. NN /\ (p =/= 1 /\ {n e. NN | n||p} ~~ 2o)) -> {1, p} = {n e. NN | n||p})
47	46	eqcomd 1889	. . . . . . . 8 |- ((p e. NN /\ (p =/= 1 /\ {n e. NN | n||p} ~~ 2o)) -> {n e. NN | n||p} = {1, p})
48	47	anassrs 489	. . . . . . 7 |- (((p e. NN /\ p =/= 1) /\ {n e. NN | n||p} ~~ 2o) -> {n e. NN | n||p} = {1, p})
49	48	ex 402	. . . . . 6 |- ((p e. NN /\ p =/= 1) -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o -> {n e. NN | n||p} = {1, p}))
50		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- ({n e. NN | n||p} = {1, p} -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> {1, p} ~~ 2o))
51	50, 44	syl6bbr 597	. . . . . . . 8 |- ({n e. NN | n||p} = {1, p} -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> p =/= 1))
52	51	biimprcd 173	. . . . . . 7 |- (p =/= 1 -> ({n e. NN | n||p} = {1, p} -> {n e. NN | n||p} ~~ 2o))
53	52	adantl 424	. . . . . 6 |- ((p e. NN /\ p =/= 1) -> ({n e. NN | n||p} = {1, p} -> {n e. NN | n||p} ~~ 2o))
54	49, 53	impbid 574	. . . . 5 |- ((p e. NN /\ p =/= 1) -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||p} = {1, p}))
55	54	ex 402	. . . 4 |- (p e. NN -> (p =/= 1 -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||p} = {1, p})))
56	55	rgen 2159	. . 3 |- A.p e. NN (p =/= 1 -> ({n e. NN | n||p} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||p} = {1, p}))
57	8, 56	vtoclri 2360	. 2 |- (P e. NN -> (P =/= 1 -> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} = {1, P})))
58	57	imp 377	1 |- ((P e. NN /\ P =/= 1) -> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} = {1, P}))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  {crab 2108  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875  {csn 3044  {cpr 3045   class class class wbr 3338  omcom 3949  1oc1o 5172  2oc2o 5173   ~~ cen 5423  Fincfn 5426  1c1 6387  NNcn 6449  ||cdivides 13662

This theorem is referenced by:  isprm2 13775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-z 7345  df-divides 13663

Copyright terms: Public domain