Theorem isprm2 13775

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than 1 whose only positive divisors are 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	|- (P e. Prime <-> (P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))

Distinct variable group:   z,P

Proof of Theorem isprm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 13769	. . . . . . . . 9 |- 1 e/ Prime
2		df-nel 2020	. . . . . . . . 9 |- (1 e/ Prime <-> -. 1 e. Prime)
3	1, 2	mpbi 206	. . . . . . . 8 |- -. 1 e. Prime
4		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (P = 1 -> (P e. Prime <-> 1 e. Prime))
5	4	biimpcd 172	. . . . . . . 8 |- (P e. Prime -> (P = 1 -> 1 e. Prime))
6	3, 5	mtoi 122	. . . . . . 7 |- (P e. Prime -> -. P = 1)
7		df-ne 2019	. . . . . . 7 |- (P =/= 1 <-> -. P = 1)
8	6, 7	sylibr 217	. . . . . 6 |- (P e. Prime -> P =/= 1)
9	8	pm4.71i 699	. . . . 5 |- (P e. Prime <-> (P e. Prime /\ P =/= 1))
10		isprm2lem 13774	. . . . . . . . . 10 |- ((P e. NN /\ P =/= 1) -> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} = {1, P}))
11		jcab 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. NN -> ({n e. NN | n||P} C_ {1, P} /\ {1, P} C_ {n e. NN | n||P})) <-> ((P e. NN -> {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) /\ (P e. NN -> {1, P} C_ {n e. NN | n||P})))
12		eqss 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ({n e. NN | n||P} = {1, P} <-> ({n e. NN | n||P} C_ {1, P} /\ {1, P} C_ {n e. NN | n||P}))
13	12	imbi2i 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. NN -> {n e. NN | n||P} = {1, P}) <-> (P e. NN -> ({n e. NN | n||P} C_ {1, P} /\ {1, P} C_ {n e. NN | n||P})))
14		1idssfct 13770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (P e. NN -> {1, P} C_ {n e. NN | n||P})
15	14	biantru 793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. NN -> {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) <-> ((P e. NN -> {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) /\ (P e. NN -> {1, P} C_ {n e. NN | n||P})))
16	11, 13, 15	3bitr4i 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P e. NN -> {n e. NN | n||P} = {1, P}) <-> (P e. NN -> {n e. NN | n||P} C_ {1, P}))
17	16	pm5.74ri 647	. . . . . . . . . . 11 |- (P e. NN -> ({n e. NN | n||P} = {1, P} <-> {n e. NN | n||P} C_ {1, P}))
18	17	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((P e. NN /\ P =/= 1) -> ({n e. NN | n||P} = {1, P} <-> {n e. NN | n||P} C_ {1, P}))
19	10, 18	bitrd 587	. . . . . . . . 9 |- ((P e. NN /\ P =/= 1) -> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} C_ {1, P}))
20	19	expcom 403	. . . . . . . 8 |- (P =/= 1 -> (P e. NN -> ({n e. NN | n||P} ~~ 2o <-> {n e. NN | n||P} C_ {1, P})))
21	20	pm5.32d 709	. . . . . . 7 |- (P =/= 1 -> ((P e. NN /\ {n e. NN | n||P} ~~ 2o) <-> (P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P})))
22		isprm 13768	. . . . . . 7 |- (P e. Prime <-> (P e. NN /\ {n e. NN | n||P} ~~ 2o))
23	21, 22	syl5bb 591	. . . . . 6 |- (P =/= 1 -> (P e. Prime <-> (P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P})))
24	23	pm5.32ri 708	. . . . 5 |- ((P e. Prime /\ P =/= 1) <-> ((P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) /\ P =/= 1))
25	9, 24	bitri 190	. . . 4 |- (P e. Prime <-> ((P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) /\ P =/= 1))
26		ancom 482	. . . . 5 |- (((P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) /\ P =/= 1) <-> (P =/= 1 /\ (P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P})))
27		anass 487	. . . . 5 |- (((P =/= 1 /\ P e. NN) /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) <-> (P =/= 1 /\ (P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P})))
28		ancom 482	. . . . . . 7 |- ((P =/= 1 /\ P e. NN) <-> (P e. NN /\ P =/= 1))
29		zgt1b1 13771	. . . . . . 7 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P) <-> (P e. NN /\ P =/= 1))
30	28, 29	bitr4i 193	. . . . . 6 |- ((P =/= 1 /\ P e. NN) <-> (P e. ZZ /\ 1 < P))
31	30	anbi1i 539	. . . . 5 |- (((P =/= 1 /\ P e. NN) /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}))
32	26, 27, 31	3bitr2i 196	. . . 4 |- (((P e. NN /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) /\ P =/= 1) <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}))
33	25, 32	bitri 190	. . 3 |- (P e. Prime <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}))
34		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (n = z -> (n||P <-> z||P))
35	34	elrab 2414	. . . . . . . 8 |- (z e. {n e. NN | n||P} <-> (z e. NN /\ z||P))
36		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
37	36	elpr 3061	. . . . . . . 8 |- (z e. {1, P} <-> (z = 1 \/ z = P))
38	35, 37	imbi12i 205	. . . . . . 7 |- ((z e. {n e. NN | n||P} -> z e. {1, P}) <-> ((z e. NN /\ z||P) -> (z = 1 \/ z = P)))
39		impexp 374	. . . . . . 7 |- (((z e. NN /\ z||P) -> (z = 1 \/ z = P)) <-> (z e. NN -> (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
40	38, 39	bitri 190	. . . . . 6 |- ((z e. {n e. NN | n||P} -> z e. {1, P}) <-> (z e. NN -> (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
41	40	albii 1346	. . . . 5 |- (A.z(z e. {n e. NN | n||P} -> z e. {1, P}) <-> A.z(z e. NN -> (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
42		dfss2 2610	. . . . 5 |- ({n e. NN | n||P} C_ {1, P} <-> A.z(z e. {n e. NN | n||P} -> z e. {1, P}))
43		df-ral 2109	. . . . 5 |- (A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P)) <-> A.z(z e. NN -> (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
44	41, 42, 43	3bitr4i 200	. . . 4 |- ({n e. NN | n||P} C_ {1, P} <-> A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P)))
45	44	anbi2i 538	. . 3 |- (((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ {n e. NN | n||P} C_ {1, P}) <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
46	33, 45	bitri 190	. 2 |- (P e. Prime <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
47		df-3an 860	. 2 |- ((P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))) <-> ((P e. ZZ /\ 1 < P) /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))
48	46, 47	bitr4i 193	1 |- (P e. Prime <-> (P e. ZZ /\ 1 < P /\ A.z e. NN (z||P -> (z = 1 \/ z = P))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  {crab 2108   C_ wss 2593  {cpr 3045   class class class wbr 3338  2oc2o 5173   ~~ cen 5423  1c1 6387  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  ||cdivides 13662  Primecprime 13766

This theorem is referenced by:  isprm3 13776  prmz 13777  coprm 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-z 7345  df-divides 13663  df-prime 13767

Copyright terms: Public domain