Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2 Structured version   Unicode version

Theorem isprm2 14632
 Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem isprm2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 14629 . . . . 5
2 eleq1 2495 . . . . . 6
32biimpcd 227 . . . . 5
41, 3mtoi 181 . . . 4
54neqned 2623 . . 3
65pm4.71i 636 . 2
7 isprm 14624 . . . 4
8 isprm2lem 14631 . . . . . . 7
9 eqss 3479 . . . . . . . . . . 11
109imbi2i 313 . . . . . . . . . 10
11 1idssfct 14630 . . . . . . . . . . 11
12 jcab 871 . . . . . . . . . . 11
1311, 12mpbiran2 927 . . . . . . . . . 10
1410, 13bitri 252 . . . . . . . . 9
1514pm5.74ri 249 . . . . . . . 8
1615adantr 466 . . . . . . 7
178, 16bitrd 256 . . . . . 6
1817expcom 436 . . . . 5
1918pm5.32d 643 . . . 4
207, 19syl5bb 260 . . 3
2120pm5.32ri 642 . 2
22 ancom 451 . . . 4
23 anass 653 . . . 4
2422, 23bitr4i 255 . . 3
25 ancom 451 . . . . 5
26 eluz2b3 11240 . . . . 5
2725, 26bitr4i 255 . . . 4
2827anbi1i 699 . . 3
29 dfss2 3453 . . . . 5
30 breq1 4426 . . . . . . . . . 10
3130elrab 3228 . . . . . . . . 9
32 vex 3083 . . . . . . . . . 10
3332elpr 4016 . . . . . . . . 9
3431, 33imbi12i 327 . . . . . . . 8
35 impexp 447 . . . . . . . 8
3634, 35bitri 252 . . . . . . 7
3736albii 1685 . . . . . 6
38 df-ral 2776 . . . . . 6
3937, 38bitr4i 255 . . . . 5
4029, 39bitri 252 . . . 4
4140anbi2i 698 . . 3
4224, 28, 413bitri 274 . 2
436, 21, 423bitri 274 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370  wal 1435   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  crab 2775   wss 3436  cpr 4000   class class class wbr 4423  cfv 5601  c2o 7188   cen 7578  c1 9548  cn 10617  c2 10667  cuz 11167   cdvds 14305  cprime 14622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-dvds 14306  df-prm 14623 This theorem is referenced by:  isprm3  14633  isprm4  14634  dvdsprime  14637  coprm  14657  isprm6  14666  prmirredlem  19063  znidomb  19131  perfectlem2  24157  perfectALTVlem2  38715
 Copyright terms: Public domain W3C validator