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Theorem ispridlc 28893
Description: The predicate "is a prime ideal". Alternate definition for commutative rings. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridlc.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
ispridlc.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
ispridlc.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridlc  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
Distinct variable groups:    R, a,
b    P, a, b    X, a, b    H, a, b
Allowed substitution hints:    G( a, b)

Proof of Theorem ispridlc
Dummy variables  x  y  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngorngo 28823 . . . 4  |-  ( R  e. CRingOps  ->  R  e.  RingOps )
2 ispridlc.1 . . . . 5  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 ispridlc.2 . . . . 5  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
4 ispridlc.3 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
52, 3, 4ispridl 28857 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
7 snssi 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  X  ->  { a }  C_  X )
82, 4igenidl 28886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
a }  C_  X
)  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R
) )
91, 7, 8syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R ) )
109adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R
) )
11 snssi 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  X  ->  { b }  C_  X )
122, 4igenidl 28886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
b }  C_  X
)  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )
131, 11, 12syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R ) )
1413adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )
15 raleq 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  ( R 
IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P ) )
16 sseq1 3396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( r  C_  P  <->  ( R  IdlGen  { a } )  C_  P )
)
1716orbi1d 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( ( r  C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )
1815, 17imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  -> 
( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
19 raleq 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. y  e.  ( R 
IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
2019ralbidv 2754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
21 sseq1 3396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( s  C_  P  <->  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P )
)
2221orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( ( ( R 
IdlGen  { a } ) 
C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) )
2320, 22imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) )  <-> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2418, 23rspc2v 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R )  /\  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  (
x H y )  e.  P  ->  (
r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2510, 14, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2625adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
272, 3, 4prnc 28890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  =  { x  e.  X  |  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) } )
28 df-rab 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x  e.  X  |  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) }  =  { x  |  (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) }
2927, 28syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  =  { x  |  ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) } )
3029abeq2d 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  <-> 
( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) ) )
3130adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  <->  ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) ) )
322, 3, 4prnc 28890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  =  { y  e.  X  |  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) } )
33 df-rab 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  e.  X  |  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) }  =  { y  |  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) }
3432, 33syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  =  { y  |  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) } )
3534abeq2d 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  (
y  e.  ( R 
IdlGen  { b } )  <-> 
( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
3635adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R  IdlGen  { b } )  <->  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
3731, 36anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
40 reeanv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. r  e.  X  E. s  e.  X  (
x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  <-> 
( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )
4140anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
42 an4 820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  (
y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
4341, 42bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  (
y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
442, 3, 4crngm4 28826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
45443com23 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X
) )  ->  (
( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
46453expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
4746adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
4847adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
492, 3, 4rngocl 23888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r H s )  e.  X )
501, 49syl3an1 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r H s )  e.  X )
51503expb 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( r H s )  e.  X )
5251adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( r H s )  e.  X )
5352adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( r H s )  e.  X )
542, 3, 4idllmulcl 28843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( ( a H b )  e.  P  /\  ( r H s )  e.  X ) )  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
551, 54sylanl1 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
( a H b )  e.  P  /\  ( r H s )  e.  X ) )  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5655anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r H s )  e.  X
)  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5753, 56syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5857adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5948, 58eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H a ) H ( s H b ) )  e.  P )
60 oveq12 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  ( x H y )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
6160eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  ( ( x H y )  e.  P  <->  ( ( r H a ) H ( s H b ) )  e.  P
) )
6259, 61syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  (
x H y )  e.  P ) )
6362rexlimdvva 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  (
x H y )  e.  P ) )
6463adantld 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  (
x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  ->  ( x H y )  e.  P ) )
6543, 64syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )  ->  ( x H y )  e.  P ) )
6639, 65sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  -> 
( x H y )  e.  P ) )
6766ralrimivv 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  ->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P )
6867ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
a H b )  e.  P  ->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
692, 4igenss 28885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
a }  C_  X
)  ->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
701, 7, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
71 vex 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
7271snss 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( R  IdlGen  { a } )  <->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
7370, 72sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  ( R  IdlGen  { a } ) )
7473adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  a  e.  ( R  IdlGen  { a } ) )
75 ssel 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  ->  ( a  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  ->  a  e.  P
) )
7674, 75syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  ->  a  e.  P ) )
772, 4igenss 28885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
b }  C_  X
)  ->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
781, 11, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
79 vex 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  b  e. 
_V
8079snss 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( R  IdlGen  { b } )  <->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
8178, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  b  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )
8281adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  b  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )
83 ssel 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  IdlGen  { b } )  C_  P  ->  ( b  e.  ( R 
IdlGen  { b } )  ->  b  e.  P
) )
8482, 83syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( R  IdlGen  { b } )  C_  P  ->  b  e.  P ) )
8576, 84orim12d 834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
)  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )
8685adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
)  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )
8768, 86imim12d 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) )  ->  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
8826, 87syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
8988ralrimdvva 2830 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  (
x H y )  e.  P  ->  (
r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
9089ex 434 . . . . . 6  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
9190adantrd 468 . . . . 5  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
9291imdistand 692 . . . 4  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
93 df-3an 967 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
94 df-3an 967 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
9592, 93, 943imtr4g 270 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) ) ) )
966, 95sylbid 215 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
972, 3, 4ispridl2 28861 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
9897ex 434 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
991, 98syl 16 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
10096, 99impbid 191 1  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2734   E.wrex 2735   {crab 2738    C_ wss 3347   {csn 3896   ran crn 4860   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   1stc1st 6594   2ndc2nd 6595   RingOpscrngo 23881  CRingOpsccring 28818   Idlcidl 28830   PrIdlcpridl 28831    IdlGen cigen 28882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-ablo 23788  df-ass 23819  df-exid 23821  df-mgm 23825  df-sgr 23837  df-mndo 23844  df-rngo 23882  df-com2 23917  df-crngo 28819  df-idl 28833  df-pridl 28834  df-igen 28883
This theorem is referenced by:  pridlc  28894  isdmn3  28897
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