Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ispridl2 Structured version   Unicode version

Theorem ispridl2 29006
Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 29038 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridl2.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
ispridl2.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
ispridl2.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Distinct variable groups:    R, a,
b    P, a, b    X, a, b
Allowed substitution hints:    G( a, b)    H( a, b)

Proof of Theorem ispridl2
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ispridl2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 ispridl2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ran  G
31, 2idlss 28984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  r  C_  X )
4 ssralv 3527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r 
C_  X  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
65adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
71, 2idlss 28984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  s  C_  X )
8 ssralv 3527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
98ralimdv 2834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
107, 9syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
1110adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
126, 11syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
1312adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
14 r19.26-2 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  <->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
15 pm3.35 587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1615ralimi 2819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1716ralimi 2819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
18 2ralor 2996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
1918biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
20 dfss3 3457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  P  <->  A. a  e.  r  a  e.  P )
21 dfss3 3457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  P  <->  A. b  e.  s  b  e.  P )
2220, 21orbi12i 521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
2319, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2417, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2514, 24sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  r 
A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2625expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )
2713, 26syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2827ralrimdvva 2917 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3029adantrd 468 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3130imdistand 692 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
32 df-3an 967 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
33 df-3an 967 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
3431, 32, 333imtr4g 270 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
35 ispridl2.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
361, 35, 2ispridl 29002 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3734, 36sylibrd 234 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
3837imp 429 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799    C_ wss 3439   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1stc1st 6688   2ndc2nd 6689   RingOpscrngo 24034   Idlcidl 28975   PrIdlcpridl 28976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-ov 6206  df-idl 28978  df-pridl 28979
This theorem is referenced by:  ispridlc  29038
  Copyright terms: Public domain W3C validator