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Theorem ispridl2 31717
Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 31749 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridl2.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
ispridl2.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
ispridl2.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Distinct variable groups:    R, a,
b    P, a, b    X, a, b
Allowed substitution hints:    G( a, b)    H( a, b)

Proof of Theorem ispridl2
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ispridl2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 ispridl2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ran  G
31, 2idlss 31695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  r  C_  X )
4 ssralv 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r 
C_  X  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
65adantrr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
71, 2idlss 31695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  s  C_  X )
8 ssralv 3503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
98ralimdv 2814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
1110adantrl 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
126, 11syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
1312adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
14 r19.26-2 2935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  <->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
15 pm3.35 585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1615ralimi 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1716ralimi 2797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
18 2ralor 2977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
1918biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
20 dfss3 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  P  <->  A. a  e.  r  a  e.  P )
21 dfss3 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  P  <->  A. b  e.  s  b  e.  P )
2220, 21orbi12i 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
2319, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2417, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2514, 24sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  r 
A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2625expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )
2713, 26syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2827ralrimdvva 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2928ex 432 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3029adantrd 466 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3130imdistand 690 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
32 df-3an 976 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
33 df-3an 976 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
3431, 32, 333imtr4g 270 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
35 ispridl2.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
361, 35, 2ispridl 31713 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3734, 36sylibrd 234 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
3837imp 427 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754    C_ wss 3414   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   RingOpscrngo 25791   Idlcidl 31686   PrIdlcpridl 31687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-idl 31689  df-pridl 31690
This theorem is referenced by:  ispridlc  31749
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