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Theorem ispridl 28834
Description: The predicate "is a prime ideal". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pridlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
pridlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
pridlval.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, a, b    x, P, y, a, b
Allowed substitution hints:    G( x, y, a, b)    H( x, y, a, b)    X( x, y, a, b)

Proof of Theorem ispridl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pridlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 pridlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 pridlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3pridlval 28833 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( PrIdl `  R
)  =  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } )
54eleq2d 2510 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } ) )
6 neeq1 2616 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  (
i  =/=  X  <->  P  =/=  X ) )
7 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
( x H y )  e.  i  <->  ( x H y )  e.  P ) )
872ralbidv 2757 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  i  <->  A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq2 3378 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
a  C_  i  <->  a  C_  P ) )
10 sseq2 3378 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
b  C_  i  <->  b  C_  P ) )
119, 10orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  (
( a  C_  i  \/  b  C_  i )  <-> 
( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
128, 11imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( i  =  P  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
13122ralbidv 2757 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  i  ->  (
a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
146, 13anbi12d 710 . . . 4  |-  ( i  =  P  ->  (
( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) )  <-> 
( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1514elrab 3117 . . 3  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  ( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
16 3anass 969 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( P  e.  ( Idl `  R )  /\  ( P  =/= 
X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1715, 16bitr4i 252 . 2  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
185, 17syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719    C_ wss 3328   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576   RingOpscrngo 23862   Idlcidl 28807   PrIdlcpridl 28808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-ov 6094  df-pridl 28811
This theorem is referenced by:  pridlidl  28835  pridlnr  28836  pridl  28837  ispridl2  28838  smprngopr  28852  ispridlc  28870
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