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Theorem ispridl 30358
Description: The predicate "is a prime ideal". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pridlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
pridlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
pridlval.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, a, b    x, P, y, a, b
Allowed substitution hints:    G( x, y, a, b)    H( x, y, a, b)    X( x, y, a, b)

Proof of Theorem ispridl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pridlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 pridlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 pridlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3pridlval 30357 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( PrIdl `  R
)  =  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } )
54eleq2d 2537 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } ) )
6 neeq1 2748 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  (
i  =/=  X  <->  P  =/=  X ) )
7 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
( x H y )  e.  i  <->  ( x H y )  e.  P ) )
872ralbidv 2911 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  i  <->  A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq2 3531 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
a  C_  i  <->  a  C_  P ) )
10 sseq2 3531 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
b  C_  i  <->  b  C_  P ) )
119, 10orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  (
( a  C_  i  \/  b  C_  i )  <-> 
( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
128, 11imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( i  =  P  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
13122ralbidv 2911 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  i  ->  (
a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
146, 13anbi12d 710 . . . 4  |-  ( i  =  P  ->  (
( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) )  <-> 
( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1514elrab 3266 . . 3  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  ( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
16 3anass 977 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( P  e.  ( Idl `  R )  /\  ( P  =/= 
X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1715, 16bitr4i 252 . 2  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
185, 17syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   RingOpscrngo 25200   Idlcidl 30331   PrIdlcpridl 30332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-pridl 30335
This theorem is referenced by:  pridlidl  30359  pridlnr  30360  pridl  30361  ispridl2  30362  smprngopr  30376  ispridlc  30394
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