MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isppw Structured version   Unicode version

Theorem isppw 23514
Description: Two ways to say that  A is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
isppw  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E! p  e.  Prime  p 
||  A ) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem isppw
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }
21vmaval 23513 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  =  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 ) )
32neeq1d 2734 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  if ( ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
4 reuen1 7603 . . 3  |-  ( E! p  e.  Prime  p  ||  A  <->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o )
5 hash1 12473 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  1o )  =  1
65eqeq2i 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 )
7 prmdvdsfi 23507 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin )
8 1onn 7306 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
9 nnfi 7729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  Fin
11 hashen 12423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o ) )
127, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o ) )
136, 12syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1  <->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o ) )
1413biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 )
1514iftrued 3952 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o )
17 en1b 7602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o 
<->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } } )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } } )
19 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . 12  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  C_  Prime
2018, 19syl6eqssr 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime )
21 uniexg 6596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  Fin  ->  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  _V )
227, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  _V )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  _V )
24 snssg 4165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  _V  ->  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime 
<->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime 
<->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime ) )
2620, 25mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  Prime )
27 prmuz2 14247 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime  ->  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
29 eluzelre 11116 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  RR )
31 eluz2b2 11179 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  NN  /\  1  <  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } ) )
3231simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  1  <  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )
3328, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  1  <  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)
3430, 33rplogcld 23140 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( log `  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } )  e.  RR+ )
3534rpne0d 11286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( log `  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } )  =/=  0
)
3615, 35eqnetrd 2750 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0 )
3736ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o  ->  if (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
38 iffalse 3953 . . . . . 6  |-  ( -.  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =  0 )
3938necon1ai 2688 . . . . 5  |-  ( if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0  ->  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 )
4039, 13syl5ib 219 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o ) )
4137, 40impbid 191 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o  <->  if ( ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
424, 41syl5bb 257 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E! p  e.  Prime  p 
||  A  <->  if (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
433, 42bitr4d 256 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E! p  e.  Prime  p 
||  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E!wreu 2809   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   omcom 6699   1oc1o 7141    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    < clt 9645   NNcn 10556   2c2 10606   ZZ>=cuz 11106   #chash 12408    || cdvds 13998   Primecprime 14229   logclog 23068  Λcvma 23491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-prm 14230  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-vma 23497
This theorem is referenced by:  isppw2  23515
  Copyright terms: Public domain W3C validator