MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isppw Structured version   Unicode version

Theorem isppw 22452
Description: Two ways to say that  A is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
isppw  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E! p  e.  Prime  p 
||  A ) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem isppw
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }
21vmaval 22451 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  =  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 ) )
32neeq1d 2621 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  if ( ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
4 reuen1 7378 . . 3  |-  ( E! p  e.  Prime  p  ||  A  <->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o )
5 hash1 12162 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  1o )  =  1
65eqeq2i 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 )
7 prmdvdsfi 22445 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin )
8 1onn 7078 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
9 nnfi 7503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  Fin
11 hashen 12118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o ) )
127, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o ) )
136, 12syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1  <->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o ) )
1413biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 )
15 iftrue 3797 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1  ->  if ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o )
18 en1b 7377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o 
<->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } } )
1917, 18sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } } )
20 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  C_  Prime
2119, 20syl6eqssr 3407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime )
22 uniexg 6377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  Fin  ->  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  _V )
237, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  _V )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  _V )
25 snssg 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  _V  ->  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime 
<->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime 
<->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime ) )
2721, 26mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  Prime )
28 prmuz2 13781 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime  ->  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
30 eluzelre 10871 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  RR )
32 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  NN  /\  1  <  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } ) )
3332simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  1  <  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )
3429, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  1  <  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)
3531, 34rplogcld 22078 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( log `  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } )  e.  RR+ )
3635rpne0d 11032 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( log `  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } )  =/=  0
)
3716, 36eqnetrd 2626 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0 )
3837ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o  ->  if (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
39 iffalse 3799 . . . . . 6  |-  ( -.  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =  0 )
4039necon1ai 2653 . . . . 5  |-  ( if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0  ->  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 )
4140, 13syl5ib 219 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o ) )
4238, 41impbid 191 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o  <->  if ( ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
434, 42syl5bb 257 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E! p  e.  Prime  p 
||  A  <->  if (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
443, 43bitr4d 256 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E! p  e.  Prime  p 
||  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E!wreu 2717   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   omcom 6476   1oc1o 6913    ~~ cen 7307   Fincfn 7310   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    < clt 9418   NNcn 10322   2c2 10371   ZZ>=cuz 10861   #chash 12103    || cdivides 13535   Primecprime 13763   logclog 22006  Λcvma 22429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-dvds 13536  df-prm 13764  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-vma 22435
This theorem is referenced by:  isppw2  22453
  Copyright terms: Public domain W3C validator