MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isposix Structured version   Unicode version

Theorem isposix 15786
Description: Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isposix.a  |-  B  e. 
_V
isposix.b  |-  .<_  e.  _V
isposix.k  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. }
isposix.1  |-  ( x  e.  B  ->  x  .<_  x )
isposix.2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
isposix.3  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
Assertion
Ref Expression
isposix  |-  K  e. 
Poset
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x,  .<_ , y, z
Allowed substitution hints:    K( x, y, z)

Proof of Theorem isposix
StepHypRef Expression
1 isposix.k . . 3  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. }
2 prex 4679 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . 2  |-  K  e. 
_V
4 isposix.a . . 3  |-  B  e. 
_V
5 df-ple 14804 . . . 4  |-  le  = Slot  10
6 1lt10 10742 . . . 4  |-  1  <  10
7 10nn 10697 . . . 4  |-  10  e.  NN
81, 5, 6, 72strbas 14825 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  B  =  ( Base `  K
) )
94, 8ax-mp 5 . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
10 isposix.b . . 3  |-  .<_  e.  _V
111, 5, 6, 72strop 14826 . . 3  |-  (  .<_  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
1210, 11ax-mp 5 . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 isposix.1 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  x  .<_  x )
14 isposix.2 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
15 isposix.3 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
163, 9, 12, 13, 14, 15isposi 15785 1  |-  K  e. 
Poset
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   {cpr 4018   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   10c10 10589   ndxcnx 14713   Basecbs 14716   lecple 14791   Posetcpo 15768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-ple 14804  df-poset 15774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator