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Theorem isposd 15125
Description: Properties that determine a poset (implicit structure version). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isposd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
isposd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
isposd.l  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( le `  K ) )
isposd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  .<_  x )
isposd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
isposd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
Assertion
Ref Expression
isposd  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, K, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    .<_ ( x, y,
z)

Proof of Theorem isposd
StepHypRef Expression
1 isposd.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
2 isposd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  .<_  x )
32adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  .<_  x )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  x  .<_  x )
5 isposd.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
653expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)
8 isposd.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
983exp2 1205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
109imp42 594 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
114, 7, 103jca 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1211ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1312ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
14 isposd.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
15 isposd.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( le `  K ) )
1615breqd 4303 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .<_  x  <->  x ( le `  K ) x ) )
1715breqd 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  .<_  y  <->  x ( le `  K ) y ) )
1815breqd 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  .<_  x  <->  y ( le `  K ) x ) )
1917, 18anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <-> 
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) x ) ) )
2019imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  ( (
x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) x )  ->  x  =  y ) ) )
2115breqd 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  .<_  z  <->  y ( le `  K ) z ) )
2217, 21anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <-> 
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z ) ) )
2315breqd 4303 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  .<_  z  <->  x ( le `  K ) z ) )
2422, 23imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z )  <->  ( (
x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x ( le
`  K ) z ) ) )
2516, 20, 243anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
2614, 25raleqbidv 2931 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  K )
( x ( le
`  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K
) y  /\  y
( le `  K
) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) ) )
2714, 26raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  K ) A. z  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x
( le `  K
) z ) ) ) )
2814, 27raleqbidv 2931 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) A. z  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
2928anbi2d 703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
_V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  <->  ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) A. z  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) x  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x ( le `  K ) y  /\  y ( le `  K ) z )  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) ) )
301, 13, 29mpbi2and 912 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) A. z  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
31 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
32 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3331, 32ispos 15117 . 2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) A. z  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K
) x  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x ( le
`  K ) y  /\  y ( le
`  K ) z )  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
3430, 33sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   Basecbs 14174   lecple 14245   Posetcpo 15110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-iota 5381  df-fv 5426  df-poset 15116
This theorem is referenced by:  pospo  15143  odupos  15305  ipopos  15330  zntoslem  17989
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