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Theorem ispos2 15903
Description: A poset is an antisymmetric preset.

EDITORIAL: could become the definition of poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
ispos2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ispos2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
ispos2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y    x, B, y    x,  .<_ , y

Proof of Theorem ispos2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anan32 988 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
21ralbii 2837 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
3 r19.26 2936 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
42, 3bitri 251 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
542ralbii 2838 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
6 r19.26-2 2937 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
7 rr19.3v 3193 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)
87ralbii 2837 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)
98anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
106, 9bitri 251 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
115, 10bitri 251 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
1211anbi2i 694 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  <->  ( K  e.  _V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
13 ispos2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 ispos2.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
1513, 14ispos 15902 . 2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1613, 14isprs 15885 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1716anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
18 anass 649 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( K  e. 
_V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
1917, 18bitri 251 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( K  e. 
_V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
2012, 15, 193bitr4i 279 1  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   _Vcvv 3061   class class class wbr 4397   ` cfv 5571   Basecbs 14843   lecple 14918    Preset cpreset 15881   Posetcpo 15895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-nul 4527
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-iota 5535  df-fv 5579  df-preset 15883  df-poset 15901
This theorem is referenced by:  posprs  15904
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