Theorem ispoint 17223

Description: The predicate "is a point".

Hypotheses

Ref	Expression
ispoint.a	|- A = (AtomsNEW` K)
ispoint.p	|- P = (Points` K)

Assertion

Ref	Expression
ispoint	|- (K e. D -> (X e. P <-> E.a e. A X = {a}))

Distinct variable groups:   A,a   X,a

Proof of Theorem ispoint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispoint.a	. . . 4 |- A = (AtomsNEW` K)
2		ispoint.p	. . . 4 |- P = (Points` K)
3	1, 2	pointset 17222	. . 3 |- (K e. D -> P = {x | E.a e. A x = {a}})
4	3	eleq2d 1964	. 2 |- (K e. D -> (X e. P <-> X e. {x | E.a e. A x = {a}}))
5		snex 3492	. . . . . 6 |- {a} e. _V
6		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (X = {a} -> (X e. _V <-> {a} e. _V))
7	5, 6	mpbiri 211	. . . . 5 |- (X = {a} -> X e. _V)
8	7	a1i 8	. . . 4 |- (a e. A -> (X = {a} -> X e. _V))
9	8	r19.23aiv 2211	. . 3 |- (E.a e. A X = {a} -> X e. _V)
10		eqeq1 1890	. . . 4 |- (x = X -> (x = {a} <-> X = {a}))
11	10	rexbidv 2124	. . 3 |- (x = X -> (E.a e. A x = {a} <-> E.a e. A X = {a}))
12	9, 11	elab3 2412	. 2 |- (X e. {x | E.a e. A x = {a}} <-> E.a e. A X = {a})
13	4, 12	syl6bb 595	1 |- (K e. D -> (X e. P <-> E.a e. A X = {a}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  {csn 3044  ` cfv 3998  AtomsNEWcatm 16981  Pointscpoints 17212

This theorem is referenced by:  atompoint 17224  pointpsub 17231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-points 17216

Copyright terms: Public domain