Theorem isplibg3 15313

Description: The predicate "repects Aitken's axiom B-3 of a linear incidence-betweenness geometry ". See df-plibg3 15312.

Hypothesis

Ref	Expression
isplibg3.1	|- P = U.L

Assertion

Ref	Expression
isplibg3	|- ((L e. A /\ B e. C) -> (<.L, B>. e. Plibg3 <-> A.l e. L A.p e. P A.q e. P A.r e. P (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))

Distinct variable groups:   B,l,p,q,r   L,l,p,q,r   P,p,q,r

Proof of Theorem isplibg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plibg3 15312	. . . 4 |- Plibg3 = {<.x, y>. | A.l e. x A.p e. U.xA.q e. U.xA.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))}
2	1	a1i 8	. . 3 |- ((L e. A /\ B e. C) -> Plibg3 = {<.x, y>. | A.l e. x A.p e. U.xA.q e. U.xA.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))})
3	2	eleq2d 1964	. 2 |- ((L e. A /\ B e. C) -> (<.L, B>. e. Plibg3 <-> <.L, B>. e. {<.x, y>. | A.l e. x A.p e. U.xA.q e. U.xA.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))}))
4		id 73	. . . 4 |- (x = L -> x = L)
5		unieq 3185	. . . . 5 |- (x = L -> U.x = U.L)
6	5	raleqdv 2269	. . . . . 6 |- (x = L -> (A.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))))
7	5, 6	raleqbidv 2274	. . . . 5 |- (x = L -> (A.q e. U.xA.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.q e. U.LA.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))))
8	5, 7	raleqbidv 2274	. . . 4 |- (x = L -> (A.p e. U.xA.q e. U.xA.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.p e. U.LA.q e. U.LA.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))))
9	4, 8	raleqbidv 2274	. . 3 |- (x = L -> (A.l e. x A.p e. U.xA.q e. U.xA.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.l e. L A.p e. U.LA.q e. U.LA.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))))
10		isplibg3.1	. . . . . . 7 |- P = U.L
11	10	eqcomi 1888	. . . . . 6 |- U.L = P
12	11	a1i 8	. . . . 5 |- (y = B -> U.L = P)
13		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (<.<.q, p>., r>. e. y <-> <.<.q, p>., r>. e. B))
14		eleq2 1958	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> (<.<.p, q>., r>. e. y <-> <.<.p, q>., r>. e. B))
15	14	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (-. <.<.p, q>., r>. e. y <-> -. <.<.p, q>., r>. e. B))
16		eleq2 1958	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> (<.<.p, r>., q>. e. y <-> <.<.p, r>., q>. e. B))
17	16	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (-. <.<.p, r>., q>. e. y <-> -. <.<.p, r>., q>. e. B))
18	13, 15, 17	3anbi123d 1168	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) <-> (<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B)))
19	13	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (-. <.<.q, p>., r>. e. y <-> -. <.<.q, p>., r>. e. B))
20	19, 14, 17	3anbi123d 1168	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> ((-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) <-> (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B)))
21	19, 15, 16	3anbi123d 1168	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> ((-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y) <-> (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))
22	18, 20, 21	3orbi123d 1167	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)) <-> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B))))
23	22	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))
24	12, 23	raleqbidv 2274	. . . . . 6 |- (y = B -> (A.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.r e. P (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))
25	12, 24	raleqbidv 2274	. . . . 5 |- (y = B -> (A.q e. U.LA.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.q e. P A.r e. P (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))
26	12, 25	raleqbidv 2274	. . . 4 |- (y = B -> (A.p e. U.LA.q e. U.LA.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.p e. P A.q e. P A.r e. P (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))
27	26	ralbidv 2123	. . 3 |- (y = B -> (A.l e. L A.p e. U.LA.q e. U.LA.r e. U.L(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y))) <-> A.l e. L A.p e. P A.q e. P A.r e. P (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))
28	9, 27	opelopabg 3567	. 2 |- ((L e. A /\ B e. C) -> (<.L, B>. e. {<.x, y>. | A.l e. x A.p e. U.xA.q e. U.xA.r e. U.x(((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ <.<.p, q>., r>. e. y /\ -. <.<.p, r>., q>. e. y) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. y /\ -. <.<.p, q>., r>. e. y /\ <.<.p, r>., q>. e. y)))} <-> A.l e. L A.p e. P A.q e. P A.r e. P (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))
29	3, 28	bitrd 587	1 |- ((L e. A /\ B e. C) -> (<.L, B>. e. Plibg3 <-> A.l e. L A.p e. P A.q e. P A.r e. P (((p e. l /\ q e. l /\ r e. l) /\ (p =/= q /\ q =/= r /\ p =/= r)) -> ((<.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ <.<.p, q>., r>. e. B /\ -. <.<.p, r>., q>. e. B) \/ (-. <.<.q, p>., r>. e. B /\ -. <.<.p, q>., r>. e. B /\ <.<.p, r>., q>. e. B)))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  Plibg3cplibg3 15299

This theorem is referenced by:  isplibg 15319

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-opab 3396  df-plibg3 15312

Copyright terms: Public domain